《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）复变边界元法在解析函数齐次Riemann边值问题求解中的应用.pdf_大学文库

第24卷第2期重庆交通学院学报 2005年4月 Vol.24 No.2 JOURNAL OF CHONGOING JIAOTONG UNIVERSITY Apr.,2005 复变边界元法在解析函数齐次Riemann 边值问题求解中的应用冯春 (重庆交通学院数学与应用数学研究所，重庆400074) 摘要：利用复变边界元方法，对解析函数齐次an边值问题进行了求解.得到了其标准解的近似解，并给出了相应误差估计关键词：复变边界元：解析函数：Rimn边值问题中图分类号：017511文献标识码：A文章编号：1001716X(2005)02-015803 1问题的提出在边界T上选取m个节点z,z2,m且折线设D表示复平面上有界的N十1连通区域，其下的每个顶点都取作节点，这些节点将「分成了m 边界T是由光滑的lordan闭曲线o,,,所段T=9={zlz=1-s)巧+，0≤ 围成，，，…，在6的内部，以Do表示以 s≤1，称为一个2一节点边界元，作线性插值基为边界的无界区域D表示以为边界的有界区域函数N(1)使其满足N(zk)=,并在每个节点z (I=1,2,,N),记D=D0十D1十…+Dw不处给定节点值)=1,2，，m),然后作线性插值妨设z=0∈D,那么，解析函数的齐次Riemann边 M(称G()为一次试探函值问题（称为问题Ra)具有如下形式的标准解函数G()= =1 X(z ) 数，关于G(t)我们有下面的定理： ea/1Iz）z∈D 定理11)G(t)在T上连续且一致连续：2) X(z)= 2 kem()2∈D (1) G(t)∈G(),这里=P(z,其中9(t)∈ C():3)对「上的任何连续函数P(t)∈Cu(T), 这里如果节点值%=P(3),那么 we)=V2a-∫血G2d (2) 1z |G(t)-P(t)≤M(队，DP)8 (4) Ⅱ(z）=(z-z1)(z-z2)1(z-2N)w(3) 这里0=ma杂.|Fl 其中，关于及k,的意义请参见文献3引，实际应证明1)是显然的：3)显然很容易从2)推出，用中，由于G(t)的复杂性，式(2)的积分是很难计在此只需证明2)就可以了.实际上，我们只需证明算的，因此，我们需要一种近似计算积分式(2)的方对每一个=1,2，m)有G1(t)∈C()就法可以了下面我们将用复变边界元方法(Complex 因为当1∈写时，G)=西+二亚(1- Variable Boundary Element Method一CV BEM)来求标 2升1一写 2i),所以对1，t2∈，如果注意到P(t)∈C(, 准解X(z)的近似解X(z),因为总可以用折线来逼近曲线，为简单计，以下不妨设D是有界的单连通则有：区域，z=0∈D,区域D的边界T是闭折线. G(t1)-G(t2) wt1一w lt1-t2≤ Z1一2i 2 复变边界元法的应用 M(, 1一互 |t1-t2≤M'(4,TP) 2.1建立试探函数收稿日期：20040329 ?199作煮简介e滑n春I93&充四南充市☆刷教授丰要从事微分方程理论的死究ved. http://www.cnki.net

第 24 卷第 2 期重庆交通学院学报 2005 年 4 月 Vo1.24 No.2 JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG UNIVERSITY Apr., 2005 复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用冯春 (重庆交通学院数学与应用数学研究所, 重庆 400074) 摘要 :利用复变边界元方法, 对解析函数齐次 Riemann 边值问题进行了求解, 得到了其标准解的近似解, 并给出了相应误差估计. 关键词:复变边界元;解析函数;Riemann 边值问题中图分类号:O175.11 文献标识码:A 文章编号:1001-716X(2005)02-0158-03 1 问题的提出设D +表示复平面上有界的 N +1 连通区域, 其边界 Γ是由光滑的 Jordan 闭曲线 Γ0 , Γ1 , … , ΓN 所围成, Γ1 , Γ2 , … , ΓN 在 Γ0 的内部 , 以 D0 表示以 Γ0 为边界的无界区域, Dj 表示以 Γj 为边界的有界区域 (j =1 , 2 , …, N), 记D -=D0 +D1 +…… +DN , 不妨设z =0 ∈ D + ,那么, 解析函数的齐次 Riemann 边值问题(称为问题 R0)具有如下形式的标准解 X(z): X(z)= e w(z) / II(z) z ∈ D + z -k e w(z) z ∈ D - (1) 这里 w(z)=1/2 πi ·∫Γ In(t -k II(t)G(t)) t -z dt (2) II(z)=(z -z 1) k 1(z -z 2) k 2 …(z -zN) k N (3) 其中, 关于 zj 及k , kj 的意义请参见文献[ 3] ,实际应用中 ,由于 G(t)的复杂性 , 式(2)的积分是很难计算的, 因此 ,我们需要一种近似计算积分式(2)的方法. 下面我们将用复变边界元方法 (Complex Variable Boundary Element Method —CVBEM)来求标准解 X(z)的近似解 X (z),因为总可以用折线来逼近曲线,为简单计,以下不妨设 D + 是有界的单连通区域 ,z =0 ∈ D +,区域 D +的边界 Γ是闭折线 . 2 复变边界元法的应用 2.1 建立试探函数在边界 Γ上选取m 个节点z 1 ,z 2 , …, zm ,且折线 Γ的每个顶点都取作节点, 这些节点将 Γ分成了m 段 Γj , Γ=∪ m j =1 Γj , Γj ={z |z =(1 -s)zj +szj+1 , 0 ≤ s ≤1}, 称 Γj 为一个2 -节点边界元 ,作线性插值基函数 Nj(t)使其满足 Nj(z k)= δjk ,并在每个节点 zj 处给定节点值 w j(j =1 , 2 , …, m),然后作线性插值函数 G1(t)= ∑ m j =1 Nj(t)w j , 称 G1(t)为一次试探函数 ,关于 G1(t)我们有下面的定理 : 定理 1 1)G1(t)在 Γ上连续且一致连续;2) G1(t)∈ Gμ(Γ), 这里 w j = φ(zj), 其中 φ(t)∈ Cμ(Γ);3)对 Γ上的任何连续函数 φ(t)∈ Cμ(Γ), 如果节点值 w j = φ(zj),那么 |G1(t)-φ(t)|≤M1(μ, Γ, φ)δμ (4) 这里 δ=ma x 1 ≤j≤m |Γj |. 证明 1)是显然的;3)显然很容易从 2)推出, 在此只需证明 2)就可以了.实际上, 我们只需证明对每一个 Γj(j =1 , 2 , … , m)有 G1(t)∈ Cμ(Γj)就可以了 . 因为当 t ∈ Γj 时, G1(t)=w j + w j+1 -w j zj+1 -zj (t - zj),所以对 t1 , t 2 ∈ Γj ,如果注意到 φ(t)∈ Cμ(Γ), 则有: |G1(t1)-G2(t 2)|≤ w j+1 -w j zj+1 -zj |t 1 -t 2|≤ M′1(μ, Γ, φ) zj+1 -zj zj+1 -zj μ |t 1 -t 2|≤M′1(μ, Γ, φ) 收稿日期:2004-03-29 作者简介:冯春(1963 -), 女, 四川南充市人, 副教授, 主要从事微分方程理论的研究

第2期冯春：复变边界元法在解析函数齐次Riemann边值问题求解中的应用 159 1t1-2r 成立，从而有由G(t)在T上的连续性和有界性知，G(t) e)-we)长J G(D-IGDL ldt ∈C(D,定理1证毕. It-z 2.2构造逼近函数前面我们引入了试探函数，现在利用它来构造单连通折线域上问题R。的标准解X(z)的近似解，称下面的函数 M(G)d 2d( wi(z)=1/2iG(1)/(1-1)·dh (5) 工k,G)6≤M(4,k,G) 定理2证毕. 为H1-逼近函数，这是一个柯西型积分，当to∈ 从上面的证明可以看出，z越靠近边界，常数时.i(o)=1/2πiG(1)/(1-to)·d山在主值 M将变得越大，但并不影响收敛性，当z∈「时，一的意义下存在，它很容易积分出来.为此，不妨设和般说来，1(z)=w(z)不成立. ∈，那么有以下2种情况发生：令 ①to是一个节点，比方说to=z1: ea)z∈Dt X(z)= (11) ②to是的一个内点. 、zee)z∈D 若①发生，那么并将X(z)作为标准解X(z)的近似解那么由 wi1(z1)=/2πi·[w2-mm十w1ln|(z2一定理2立即可得下面的定理， 2em-z)+月 3 误差估计 (6) 定理3 设-袋I月则对z∈Dz年其中 C有mX1(z)=X(z,且有估计式 5=币升1一%防十[(z1一)/(z升1一z1)·wt1一 (z1-+1)/(zt1-z1)·mln(+1-z1)/(z-z1) |X1(z)-X(z)M46 (12) 这里M4与z,只，k,T和G(t)有关 (7) 称函数e(z)=w(z)一w(z)为用(z)逼近w(z) 若②发生，那么的误差函数，它反映了w(z)对w(z)的近似程度： i(to)=1/2πi[w2-w1+[(t0-z1)/(z2 e(z)在边界「附近的行为，则反映了近似解的稳定 z1)·w2-(t0-z2)/(z2-z1)w]ln(z2-t0)/(z1 性，又因为(z)是构造X(z)的关键性函数，因而 -o+2月 (8) e(z)也是X(z)的各种指标的反映.关于e(z)的详 =2 细讨论，请参见文献，本文在此不再赘述这里，其中，如式(7)，上述结果详见文献. 我们只给出结论：当增加节点时，误差函数e(z)在有了以上的准备，就可以来求X(z)在D±内的边界「附近的上界不会增大，也就是说通过增加近似解了，对于D+是单连通的折线域，式(2)将变节点的办法，有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 为的效率。 we)=V2m·J,4ch (9) t-z 参考文献：在试探函数里，给定节点值%=ln[G(z】, I Brebbia C A.Orszag S A.The complex variable boundary el 那么有 ement method J.Lecture Nates in Ergineering 1984 (9): 定理2对ò=哭1写↓有 202-210. w1(z)-w(z)长M2(z,,k,DG)z∈ [1 Stein E M.奇异积分和函数的可微性M.北京：北京大 D产，z任T (10) 学出版社.1986. 证明令4表示与z的最短距离，d= [3 闻国椿.共形映照与边值问题[M.北京：高等教育出版社.1985. 4,并注意到G()∈C(,因而定理1 路见可.解析函数边值问题M训.上海：上海科技出版社.1987. ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

|t 1 -t2 |μ 由 G1(t)在 Γ上的连续性和有界性知, G1(t) ∈ Cμ(Γ), 定理 1 证毕 . 2.2 构造逼近函数前面我们引入了试探函数, 现在利用它来构造单连通折线域上问题 R0 的标准解 X(z)的近似解 , 称下面的函数 w 1(z)=1/2πi ·∫Γ G1(t)/(t -1)· dt (5) 为H1-逼近函数, 这是一个柯西型积分 ,当 t 0 ∈ Γ时, w 1(t 0)=1/2 πi ·∫Γ G1(t)/(t -t 0)·dt 在主值的意义下存在, 它很容易积分出来.为此 , 不妨设 t0 ∈ Γ1 , 那么有以下 2 种情况发生: ①t 0 是一个节点, 比方说 t0 =z 1 ; ②t 0 是 Γ1 的一个内点 . 若 ①发生 ,那么 w 1(z1)=1/2 πi · [ w 2 -w m +w 1ln |(z 2 - z 1)/(zm -z 1)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (6) 其中 Ij =w j+1 -w j +[ (z 1 -zj)/(zj+1 -z 1)·w j+1 - (z 1 -zj+1)/(zj+1 -z 1)·w j] ln(zj+1 -z 1)/(zj -z 1) (7) 若 ②发生 ,那么 w 1(t 0)=1/2πi ·[ w 2 -w 1 +[ (t0 -z 1)/(z 2 - z 1)·w 2 -(t0 -z 2)/(z 2 -z1)·w 1] ln|(z 2 -t 0)/(z1 -t 0)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (8) 其中 , Ij 如式(7),上述结果详见文献[ 1] . 有了以上的准备,就可以来求 X(z)在 D ±内的近似解了 ,对于 D +是单连通的折线域 , 式(2)将变为 w(z)=1/2 πi ·∫Γ ln[ t -k G(t)] t -z dt (9) 在试探函数里 ,给定节点值w j =ln[ z -k j G(zj)] , 那么有定理 2 对 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,有 |w 1(z)-w(z)|≤M2(z , μ, k , Γ, G)δ μ z ∈ D ±,z Γ (10) 证明令 dj 表示 Γj 与 z 的最短距离, d = max 1 ≤j≤m dj ,并注意到 ln[ t -kG(t)] ∈ Cμ(Γ),因而定理1 成立,从而有 |w 1(z)-w(z)|≤ 1 2π∫Γ G1(t)-ln[ t -k G(t)] |t -z | |dt |≤ 1 2 π M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j =1∫Γj |dt | |t -z |≤1/2 π· M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j=1 |Γj |/dj ≤|Γ/2πd |M1(μ, Γ, k , G)δ μ ≤M3(μ, Γ, k , G)δ μ 定理2 证毕. 从上面的证明可以看出, z 越靠近边界, 常数 M2 将变得越大 ,但并不影响收敛性,当 z ∈ Γ时 ,一般说来 , limδ※0 w 1(z)=w(z)不成立. 令 X (z)= e w 1(z) z ∈ D + z -k e w 1 (z) z ∈ D - (11) 并将 X (z)作为标准解 X(z)的近似解,那么由定理2 立即可得下面的定理. 3 误差估计定理3 设 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,则对z ∈ D ±, z Γ,有limδ※0 X 1(z)=X(z),且有估计式 |X 1(z)-X(z)|≤M4δ μ (12) 这里 M4 与 z , μ, k , Γ和G(t)有关. 称函数 e(z)=w(z)-w (z)为用 w (z)逼近 w(z) 的误差函数 , 它反映了 w (z)对 w(z)的近似程度; e(z)在边界 Γ附近的行为 ,则反映了近似解的稳定性 ,又因为 w (z)是构造 X (z)的关键性函数, 因而 e(z)也是X (z)的各种指标的反映.关于 e(z)的详细讨论 ,请参见文献[ 1] , 本文在此不再赘述, 这里, 我们只给出结论:当增加节点时 ,误差函数 e(z)在边界 Γ附近的上界不会增大 , 也就是说, 通过增加节点的办法 , 有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 的效率 . 参考文献: [ 1] Brebbia C A, Orszag S A.The complex variable boundary element method[ J] .Lecture Notes in Engineering , 1984, (9): 202-210. [ 2] Stein E M.奇异积分和函数的可微性[ M] .北京:北京大学出版社, 1986. [ 3] 闻国椿.共形映照与边值问题[ M] .北京:高等教育出版社, 1985 . [ 4] 路见可.解析函数边值问题[ M] .上海:上海科技出版社, 1987 . 第 2 期冯春 :复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用 159