目 录 第一章全纯函数… S1.幂级数 2 52.复可微函数 53。Cauchy积分… a.a....... 1 54。恒等定理… 18 55.在Reinhardt域中的展开… 20 56。实和复可微性… 26 57。全纯映射… 32 第二章全纯域… 35 1。连续性定理… 35 52。拟凸性 42 53.全纯凸性 47 S4.Thullen定理 53 5.全纯凸域… 57 56.例子 63 S7.C上的Riemann域… 61 §8。全纯包… 6 第三章Weierstrass 预备定理 83 §1，幂级数的代数… 83 52.Weierstrass公式… 87 §3。收敛幂级数… 91 54。紫因子分解… 96 S5.进一步的结论(Hensel环和Nocther环)… 99 §6。解析集合… 103 第四章层论…… 121 S1.集合的层 I21 52。具有代数结构的层…… 128 ii:·
§3。解折层射…… 135 §4.凝聚层 138 第五章 复流形…… 146 §1。复环式空间… 146 §2.关于复流形的函数论 151 S3.复流形的例子… 157 S4.C的闭包… 176 第六章上同调论… 184 §1。散射（松软）上同调……… 184 S2.Ccch上同调… 194 §3。二重复形… 200 §4。上同调序列…… 205 §5.关于Sten流形的主要定理 214 第七章 实方法… 219 §1。切向量 219 §2。复流形上的微分形式… 226 §3。Cauchy积分… 229 §4.Dolbeault引理… 233 §5.强层(Dolbeault和de Rham的定理)… 236 符号表… 242 参考文献… 243 跋… 245
第一章全纯函数 引 言 设C是复数域，n是自然数，我们称有序的”个复数构成的 集合 Cm={=(2,…,2):8,∈C,1≤v≤n} 为n维复数空间。点∈C”的每个分量能被唯一地分解成实部和 虚部： z,=x知十iy 这在C"的元素(1，·…zn)和2n维实数空间R2的元素(1，··， x。,1,··,ym)之间给出一个唯一的1一1对应。 C”是向量空间：两个元素的加法以及C”的一个元素与一个 (实或复)纯量的乘法以分量方式加以定义.：作为一个复向量空 间，C”是n维的；作为一个实向量空间，它是2n维的.显然，C”和 R”之间的R向量空间同构导致C”上的一个拓扑：对于8=(21， …,z。)m（十iy1,·…,xn十yn)€C,令 a-(会-（②+w, la‖*=，max(lxl,lykl) =1*， 由→肠‖和→率定义C”上的范数，而相应的度量由 dist(a1,d2)=1-, .、d dist*(,2）=l1一2l 给出。在每种情况，我们得到C”上一个拓扑，这个拓扑与通常关 于R”的拓扑一致。C的其他度量，如由ll=max|和dist (1,)-1一动所定义的，也诱导出通常的拓扑. 一个区城BCC”是开集（具有通常拓扑）；一个域是连通的开 集。开集G℃C”称为连通的，如果满足下列两个等价条件之一： 1…
a.对芋每两个点1,2∈G,存在一个连续映射p:[0,1]→C 满足p(0)-,p(1)=,且p([0,1])CG. b.如果B,BCG是开集，具有B,UB2=G,B:∩B,= 和B,≠少，则B2=必。 定义。设BCC是一个区域，点动∈B,集合C()={a∈B:d 和和能够用一条B中的路径连结}称为和在B中的分支. ..附注设BCC”是一个开集，则： a.对于每个∈B,C(8)和B一Ca()是开集.， b.对于每个a∈B,C(a)是连通的. c.从Cs(ai)∩Ca(m)≠可得C(1)=C。(a). d.B-U CB(8). ·e,如果G是一个域，并且∈GCB,则GCC(). f.B至多有可数个分支。 证明是平凡的。： 最后，对于和∈C,.我们定义： U.(）={a∈C:dist(a,)<6}, U(8o)=18EC:dist*(8,)<B} U:(8o)18E C:dist'(8,8)<B). §1.幂级数 设M是C的一个子集，从M到C的映射f称为M.上的一个 复函数.多项式 是特别简单的例子，它定义在所有C上，为简化记号，我们引进 重指标：设，1≤i≤n,是非负整数一(g…)是C上 的一个点，我们定义： =…川-含-夏 ·2
采用这个记号，则多项式可写成 p()=∑a6. 定义1.1.设点和∈C",对{l≥0,4，是-个复数.则表达 式 a,(g-)” 0 称为一个关于的形式幂级数 这样的表达式，正象这名称所说，仅有形式上的意义.对于一 个特定，它未必表示一个复数。由于重指标能够用多种方式排 列，所以如何进行求和是不明确的.因此我们必须引进一个适当 的收敛概念。 定义1.2设9={v=(y,…,y):≥0,1≤i≤n}, EC固定，我们称∑a,(一加)'收敛于复数c,如果对每一个 Us0 e>0,存在一个有限集1C9,使得对任意满足1C1CS的有限 集1，有 E(&-w”-c0,存在一个有限集1二9，使得对每个1CIC3的 有限集I和每个∈M,均有、 ,(6-r-)<8, ◆3●
，(8一)'在一个区域B内部一致收敛，如果级数在B 速0 的每个紧子集内一致收敛 ·定义14.设BCC”是一个区城，f是B上一个复函数.f 称为在B中全纯，如果对每个∈B,在B中存在一个邻域U= U()和一个在U上收敛于()的幂级数 ∑a,(a-) 注意，并不要求在U上一致收敛。现在我们证阴为什么逐点 收敛就够了. 定义15.点集V={x=(",·,rm)ER:r,≥0,1≤≤ n}称为绝对空间.t:C”→V,(a)=(|,…·,)是C到 V上的一个自然投形 V是R”的一个子集，且本身继承从R到V所诱导的拓扑（相 关拓扑)。所以：C”→V是一个连续满映射。如果BV是开 的，则1(B)CC也是开的。. 定义16.设r∈V+={r=(r1,·,rm)∈R":rk>0},∈ C",那么P(o)={∈C:l8k一|<rk,1≤≤n}称为具 有（多）半径t的关于的多圆柱.T=T(P)={∈C”:|k一 四|=r}称为P的特征边界（见图1）. 图1·多国柱在绝对空间中的像
P=P()是C中一个凸域，它的特征边界是P的拓扑边界 ∂P的一个子集.对于n=2和=0，情况很容易说明：这时V 是？中的一个象限，x(P)是一个开矩形，(T)是(P)的边界 上的一个点.因此 T={a∈C:lal=r,l8!=r} ={a=(r1e8,re8,)∈C:0≤810,存在一个EN
使得在P*上∑1b.(81<®.令1，-0({0,1,2，…)，如 0+1 果I是-个满足1C1C3的有限集，则{0,1，·，C(I), 因此 36)-3w-2.6)-五.) -∑.()≤之，bl<,对eP* 所以 ad在p*一致收敛。 2.设KCP,是紧的.{Pg:0<9<1)是P,的-个开覆 盖，因而也是K的开覆盖，但另一方面存在一个有限子覆盖{P, P.如果我们置9=max(9,:,9)则K,eP,而 Pg与1)中的P*类似.因此∑6在K上一致收敛，定理得 证. 口 其次，我们将考奈在什么集合上幂级数收敛，为了简单起见， 我们选择。一0作为我们展开的点，相应的结论在一般情况世是 成立的：： .定义17.一个开集BCC:称为Reinhardt城，如果i∈B →T,=x1r(a)CB. 注释，T,是环面{∈C:z={z}。定义17的条件意 味着xlr(B)=B;一个Reinhardt域由它的在绝对空间中的像 x(B)来刻刘. 定理1.2.一个开集BCC是一个Reinhardt域，当且仅当 存在一个开集WCV使得B=x(W) 证明： 1.设B=t(W),WCV是开的.因为eB,()∈功， 因此x1r(a)Cx(W)aB. 1)原文格n∈N一'中-(T)误为n中(1).一一译者注 6·
2.设B是一个Reinhardt域.那么B=xtr(B),并且只 要证明r(B)是V中的开集就够了，假设t(B)不是开的，则存在 一个点∈(B),它不是x(B)的一个内点，因而是V一t(B)的 一个聚点.设()是V一(B)中收敛于的一个序列，存在具 有=t()的∈C,使得对所有和1≤p≤有{川=r9, 由于()收敛，所以存在一个M∈R,使得对所有i和P有|r川 <M.因此，序列()也是有界的.'从而它必有一个聚点和 一个具有im(,)一的子序列'(i,)。因为x是连续的，所以 r(w)一m(,)一im.-.日是一个Reimhardt域，由此 可得出∈x()Cxr(B)=B.B是和的一个开邻域，所以几 乎所有，必须位于B中，从而几乎所有。=(，)必须位于 (B)中.这是一个矛盾，因而(B)是开的： 0 一个Reinhardt域在绝对空间中的象总是一个（任意形式） 开集，且这个集合的逆象还是这个域。 定义l&.设GCC是一个Reinhardt域. 1,G称为正常的，如果， a,.C是连通的； b.0∈G. 2.G称为完全的，如果 a∈GnC→p,CG. “图2说明定义18当？一2时在绝对空闻的情形. t图z.:(ay完全的Reinhardt城5(b)正常的Reinhardt城
当"=1.时，Reinhardt域是开圆环的并，在这种情况下完全 的和正常的Reinhardt域之间无差别. 显然当n>1时，多圆柱和球K={:|a2+··十{.{2{.设=(，…，)，则∈B, 1∈。对每个点1∈B选择这样一个固定点2。 2.如果∈B，则存在一个具有，的∈B,)在1