成，7 目 录 引言t…1 第一章特征与Gau结和…19 写1.特征…19 2Ga和4…22 第二章特征和估计与大筛法…32 手1，最简单的特征和估计… …32 S2。经典的特征和均值估计… …3 3。大筛法… …42 S4.新的特征和均值估计… …49 第三章《函数与L函数的中值公式… …55 S1,一些引理 …55 §2.5函数的四次中值公式… 地63 53。L函数的四次中值公式……67 54。L函数的二次中值公式… …71 第四章零点分布（一）… …74 S1.专函数与L函数的零点密度估计… …76 52,专函数器点密度估计的改进… …82 第五章线性素变数三角和估计… …91 S1.BHHorPaOB方法 91 52,零点密度估计方法*…13 S3。复变积分法… ………109 $4。对小9的线性素变数三角和估计……115 第六章三素数定理…119 1.Goldbach问题中的圆法…119 2.非实效方法……122 §3，实效方法… …】28 等1。奇数表为三个几乎相等的奇素数之和…133 ·。ii
55.N,+:十y 第七章SELBERG筛法…18 ∫I,筛函数…… 148 S2.最简单的Selberg上界筛法 154 §3，函数G,(5,)和G,(名)… 159 §4。筛函数估计的两个基本定理……… 170 55.函数F(4)和(4)… 175 §6，Jurkat-Richert定理 183 第八章算术数列中素数分布的均值定理…200 51.Bombicri--BuHorpao定理… 206 S2,一类新的均值定理… 209 第九章陈景润定理… 4…225 写1.命{1,2}… 225 等2，D(N)上界估计的改进… 238 第十章零点分布（二） 253 1、L函教的若千引理… 253 写2。T心rin方法… 257 §3.乙函数非琴区域的扩展… 262 S4.L函数在直线0=1附近的器点密度估计… 273 第十一章Goldbach数（一） …279 51.￡(x)的初步估计… 279 S2..B(x)的进一步估计 287 §3.小区间上的Goldbach数… 306 第十二章Goldbach数（二）》 …313 -号1.一些引理… *+…*31 52.定理的证明…… 1…320 参考文献… …324
引 言 nif 1742,年，德国数学家Christian Goldbach(1690一1764)在和 他的好朋友、大数学家Leonhard Euler(1707-l783)的几次通信 中，提出了关于正整数和素数之闻关系的两个推测，用现在确切的 话来说，就是： (A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和； (B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和. 这就是著名的Goldbach猜想.我们把猜想(A)称为“关于偶数 的Goldbach猜想”，把猜想(B)称为“关于奇数的Goldbach猜想”. 由于 2m十1=2(”-1)+3， 所以，从猜想(A)的正确性就立即推出猜想(B)亦是正确的.Eur 虽然没有能够证明这两个猜想，但是对它们的正确性是深信不疑 的。1742年6月30日，在给Goldbach的一封信中他写道：我认 为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。 Goldbach猜想提出到今天已经有237年了，可是至今还不能 最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料”，都表 明这两个猜想是合理的.这种合理性以及猜想本身所具有的极其 简单、明确的形式，使人们和Er一样，也不由得不相信它们 是正确的。因而，二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数 学工作者和数学爱好若，特别是不少著名数学家的注意和兴趣，并 为此作出了艰巨的务力.但是，直至本世纪，对这两个猜想的研究 才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是， (1)1937年，苏联数学家1.M.BHHorpanoB3)证明了：每一个 1)例如，Shen Mok Kong验证了清想(A)对于所有不短过33X10的例数都是 正确的
充分大的奇数都是三个奇素数之和；(2)1966年，我国数学家陈景 润1别证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不 超过两个素数的乘积之和.这是两个十分杰出的成就.BHHorpa-. oB的结果基本上证明了猜想(B)是正确的”。所以，现在说到 Goldbach猜想时，总是只指猜想(A),即关于偶数的Goldbach猜 想. 下面我们简要地谈一谈研究Goldbach猜想的历史， 从提出Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中，虽然 许多数学家对它进行了研究，但并没有得到任何实质性的结果和 提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证， 提出一些简单的关系式或一些新的推测（见L.E.Dickson:Histo- ry of the Theory of Numbers,.I,421一425).总之，数学家们还想 不出如何着手来对这两个清想进行哪怕是有条件的极初步的有意 义的探讨.但我们也应该指出：古老的筛法，以及在此期间内 Euler,Gauss,Dirichlet,Ricmann,Hadamard等在数论和函数论方 面所取得的辉煌成就，为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供 了强有力的工具和奠定了不可敏少的坚实基础。 1900年，在巴黎召开的第二届国际数学会上，德国数学家D. Hilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中，提出了二 十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题，作为今后数学研 究的主要方向，并期待在这新的一个世纪里，数学家们能够解决这 些难题。Goldbach猜想就是Hilbert所提出的第八问题的一部分. 但是，在此以后的一段时间里，对Goldbach猜想的研究并未取得 什么进展.1912年，德国数学家E.Landau在英国剑桥召开的第 五届国际数学会上十分悲观地说：即使要证明下面较弱的命题 (C),也是当代数学家所力不能及的： 1)后来，Bopo31KH1具体计算出，当奇数N≥6，时，就一定可以表为三 个奇素数之和。，是一个比10的0万次方还要大的数（自前知道的最大 素数是Mcr5cnnc素数21or一1，这只是一个6533位数).而对于如此巨大的 数字，我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说，猜想() 是否一定成立.所以，BH0r中aoB是基本上解决了猜想(B)。 2
(C)存在一个正整数，使每一个≥2的整数都是不超过无 个素数之和。 1921年，英国数学家G.H.Hardy在哥本哈根数学会作的 一次讲演中认为：Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的 最困难的一个。 就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候， 他们没有料到，或若没有意识到对Goldbach猜想的研究正在开始 从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破，这就是：1920 年前后，英国数学家Hardy,Littlewood和印度数学家Ramanujan 所提出的“圆法”4；1920年前后，挪威数学家Brun)所提出 的“筛法”；以及1930年前后，苏联数学家L]HHpeJIbMa0)所提出 的“密率”.在不到50年的时间里，沿着这几个方向对Goldbach 猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数 论和其它一些数学分支的发展， (一) 圆 法 首先我们来谈谈圆法.从1920年开始，Hardy和Littlewood 以总标题为《Some problems of“Partitio.pumerorum”》发表了七篇 论文。在这些文章中，他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的 一个崭新的分析方法。其中1923年发表的第II,V二篇文章就 是专门讨论Goldbach猜想的.这个新方法的，思想在1918年 Hardy和Ramanujan)的文章中已经出现过.后来人们就称这个 新方法为Hardy--Linewood--Ramanujan圆法.对于Goldbach猜想 来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，由于积分 aea=6;8: (1 m年0， 其中e(x)=2a,所以方程 N=p1+p2,p1,≥3 的解数
D(a)-r(e,N:(-a）a; (3) 方程 N=+红+，1,2，≥3 (4) 的解数 T(N)-fs(a,N)+(-No)do, (5) 其中 s(a,N一∑e(ap). (6) 2KPCN 这样，猜想(A)就是要证明：对于偶数N≥6有 D(N)>0; (7) 猜想(B)就是要证明：对于奇数N≥9有 T(N)>0. (8) 因此，Goldbach猜想就被归结为讨论关系式(3)及(5)中的积分 了.显然，为此就需要研究由(6)所确定的以素数为变数的三角 和。他们猜测三角和(6)有如下的性质：当“和分母“较小”的既 约分数“较近”时，S(“,N)就取“较大”的值；而当x和分母“较大” 的既约分数“接近时，S(,N)就取“较小”的值（这里的“较小”、 “较大”、“较近”的确切含义将在下面作进一步的说明).进而他们 认为，关系式(3)及(5)中积分的主要部分是在以分母“较小”的 既约分数为中心的一些“小区间”（即那些和它距离“较近”的点组 成的区间)上，而在其余部分上的积分可作为次要部分而忽略。这 就是圆法的主要思想。为了实现这一方法，首先就要把积分区间 分为上述的二部分，其次把主要部分上的积分计算出来，最后要证 明在次要部分上的积分相对于前者来说可以忽略不计.下面我们 更具体地来加以说明. 设9，x为二个正数， 1≤D≤t≤N. (9) 考庶Farcy数列 号a,90=l,0≤a<g,9≤0. (10) 4 捞
并设” 9)-[号-子，号+] (11) 以及” E1-U U E(g,a), (12) 16085S B=[-,1-]八 (13) 容易证明，满足条件 222<x (14) 时，所有的小区间E(g,a)是二二不相交的（第六章§1）.我们称 E:为基本区间(Major arcs),E,为余区间(Minor ares).如果一 个既约分数的分母不超过9，我们就说它的分母是“较小”的，反 之就说是“较大”的，如果两个点之间的距离不超过，我们就 说是“较近”的。显然，当α∈E时，它就和一分母“较小”的既约分 数“接近”.可以证明（见第六章S1引理2），当“∈E2时，它一定 和一分母“较大”的既约分数“接近”.这样，利用Fary数列就把积 分区间[上，1一]分成了國法所要求的二部分应和E, 因而，我们有 0))2),i 其中 D.(N)ska,N)e(-Na)da,1,2 以及 )有讨亦取(，)-[日-正，号+] 2)U与\是巢合的和与差的符号.由于被积函数的周期为1，为方便起见，我们粑 积分区间0,1山改为[-子，1-] 3)这种方法通常称为Farey分部
T(N)-sa,N)(-Na)da-T(N)+N),(1) 其中 T(N)=s(a;N)e(-Na)da.i=1,2. 圆法就是要计算出D(N)及T(N),并证明它们分别为D(N)及 T(N)的主要项，而D2(N)及T(N)分别可作为次要项而忽略不 计. Hardy-Littlewood2,)首先证明了一个重要的镀设性结果：如 果存在-一个正数日00, (17) 2 其中 6,(N)=] -。(+。二以.() 同时他们猜测2，，对于偶数N应该有 D(N)~8(N) log2N> N0, (19) 其中 w-2马4-p=号 (20) p>2 Hardy-Littlewoodi,v)还证明了一个假设性结果：如果广义 Riemann猜测成立，那末几乎所有的偶数都能表为二个奇素数之 和，更精确的说，若以E()表示不超过x且不能表为二个奇素数 之和的偶数个数，他们在GRH下证明了- E()《x+, (21) 其中e为一任意小的正数。 可以看出，圆法如果成功的话，是十分强有力的.因为它不但 6
正明了猜想的正确性，而且进一步得到了表为奇素数之和的表 法个数的渐近公式，这是至今别的方法都不可能做到的.虽然 Hardy-Littiewood没有证明任何无条件的结果，但是他们所创造的 圆法及其初步探索是对研究Goldbach猜想及解析数论的至为重 要的贡献，为人们指出了一个十分有成功希望的研究方向， l937年，T.Esterman2切证明：每一个充分大的奇数一定可 以表为两个奇紫数及一个不超过两个素数的乘积之和. 1937年，利用Hardy-Litdewood圆法，M,M.BHHorPanoE终 于以其独创的三角和估计方法无条件地证明了：每一个充分大的 奇数都是三个奇素数之和，且有渐近公式(17)成立.这就基本上 解决了猜想(B),是一个重大的贡献.通常把这一结果称为Gol- bach-BHHorpaoB定理，简称三秦数定理.Page在1935年（见第十 章引理5)及Siegel在1936年（见第十章引理9）证明了关于L 函数例外零点的两个十分重要的结果，由此可推出相应的算术级 数中素数分布的重要定理（见第六章§2引理2及53引理7）. BHHorpanoB 首先利用这两个结果之一（用任意一个结果都可以) 证明了：对适当选取的2及x,有 T(N)~S,(N),N2 2 log'' N◆o, (22) (见第六章52定理1)。而他的主要贡献是在于利用他自已创造 的素变数三角和估计方法，证明了Hardy-Littlewood关于三角和 S(c,N)性质的猜测。简单地说，他证明了：对适当选取的2和 x,当x∈E,时有 S(as,N)《 、 (23) logN' (见第五章$1).由此容易推出 T,(N)《, (a,)d log'N (24) 这表明相对于T(N)来说，T(N)是可以忽路的次要项.这样， 由(16)，(22)，(24)就证明了三素数定理（见第六章§2，当用Page 的结果时情祝要复杂一些，见第六章§3)
BHHorpanoBl34,h.L叨创造和发展了一整套估计三角和的方 法，利用他的强有力的方法使解析数论的许多著名问题得到了重 要的成果。他对数论的发展作出了重要贡献 1938年，华罗庚4证明了更一般的结果：对任意给定的整数 ,每一个充分大的奇数都可表为户十十修，其中色，，为 奇素数（见第六章§5定理4）. 在BHHorpanoe的证明中，有一点稍为不调和的地方.他创 连的线性素变数三角和估计方法，从本质上来说是一种筛法。这 样一来，处理基本区间E上的积分T:(N)用的是分析方法，而处 理余区间五2上的积分T(N)用的却是初等的非分析方法”.为 了消除这种不一致性，就需要用分析方法来得到线性素变数三角 和S(c,N)的估计式(23).1945年，O.B.门mm4,71,61提 出了所谓L函数零点密度估计方法，他利用这一方法同样证明了 估计式(23)，从而对三素数定理给出了一个有价值的新的完全分 析的证明.那的方法在解析数论的许多问题中都有重要应 用。他原来的证明是十分复杂的，后来一些数学家4215别进一 步简化了K的证明（见第四章§1，第五章$2），但也仍然 是利用器点密度估计方法并要用到比较复杂的分析结果.1975 年，Vaughan1不用L函数零点密度估计方法，给出了估计式 (23)一个分析证明，但他仍需用到复杂的工函数的四次中值公式. 1977年，潘承彪9仅利用L函数的初等性质及简单的复变积分法 对估计式(23)给出了一个新的简单的分析证明（见第五章§3）. 一些作者还讨论了有限制条件的三素数定理。例如，证明了 充分大的奇数可以表为三个几乎相等的素数之和11”.吴 方及一些数学工作者还讨论了其它形式的推广， 由上所述，圆法对于猜想(B)的研究是极为成功的。而用它 来研究猜想(A)却收效甚微，得不到任何重要的结果。在Bo 阳oB证明了三素数定理后不久，利用他的思想，一些数学 1)R.C.Vaughan(C.R.Acad.Sc.Paris,S6r.A,285 (1977),981--983) 又给出了一个漂亮的初等证明