第24卷第3期 高等函授学报（自然科学版）》 Vol.24 No.3 2011年6月 Jou mal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) 2011 °大学教学。 任意圆域上Laplace方程Dirichlet问题中 解析函数的解法 赵冬梅'张家雷 (1.燕山大学里仁学院：2.理学院河北秦皇岛066004) 摘要：把复变函数教材的习题[！中圈心在原点的圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题的 解，推广到了圆心在任点的圆域上并以此为基础证明了已有的解析函数和调和函数在圆周及 圆域上的平均位公式， 关键词：复变函数；解析函数；调和函数：Laplace方程的Dirichlet问题 中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：10067353(2011)03-0049一02 0引言 -R在 R 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数：一 圆|S一z0=R外，由柯西一古萨定理 对有序的二元调和函数，如果后者是前者的共轭 0-克.∮(l-0上R) 则可构成解析函数。鉴于解析函数与调和函数的 密切关系，完全可以用复变函数的方法来求解某 (2) 些特殊区域上的Laplace方程问题。 式(1)减式(2)可得 1任意圆域上二维Laplace方程的钬氏问题 f()= 例求解圆域上二维Laplace方程的 Dirichlet问题 (3) .+5r=0x-x0)2+(y-y0)2<R2 其中 μl-624-P=e=gGx,y） 解函数(x,y)在圆域D={(x,y)(x 一x0)2十y一o)<R}内调和，故存在调和函 20+R2/(2-20)- 数v(x,y),使得f(z)=(x,y)+iv(x,y)在D (z-z0】 内解析。由柯西积分公式，有 =7G-z0)-(2-20+R2-(G-20)e-20 f)=∮水(l- R2-(z-z0)(z-z0） R) (1) [(3-20)-(2-z0】[R2-(S-z0)(z-z0刀 记=20十2一20 R 代入式(3)可得 这里|2-20= 收稿日期：2011一03-28. 作者简介：赵冬梅(1976一).女，山东省宁津县人.硕土，助教研究方向：应用数学. 通讯作者：张家雷(1976一)，男，山东省济阳县人，在读博士生，讲师研究方向：应用数学. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.ki.net
收稿日期:2011-03 -28 . 作者简介:赵冬梅(1976 -), 女, 山东省宁津县人, 硕士, 助教, 研究方向:应用数学. 通讯作者:张家雷(1976 -), 男, 山东省济阳县人, 在读博士生, 讲师, 研究方向:应用数学. ·大学教学· 任意圆域上 Laplace 方程 Dirichlet 问题中 解析函数的解法 赵冬梅1 张家雷2 (1 .燕山大学 里仁学院;2 .理学院, 河北 秦皇岛 066004) 摘 要:把复变函数教材的习题[ 1] 中圆心在原点的圆域上的 Laplace 方程的 Dirichlet 问题的 解, 推广到了圆心在任一点的圆域上, 并以此为基础证明了已有的解析函数和调和函数在圆周及 圆域上的平均值公式。 关键词:复变函数;解析函数;调和函数;Laplace 方程的 Dirichlet 问题 中图分类号:O174 文献标识码:A 文章编号:1006-7353(2011)03 -0049 -02 0 引言 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数;一 对有序的二元调和函数, 如果后者是前者的共轭, 则可构成解析函数。鉴于解析函数与调和函数的 密切关系 ,完全可以用复变函数的方法来求解某 些特殊区域上的 Laplace 方程问题。 1 任意圆域上二维 Laplace 方程的钬氏问题 例 求 解 圆 域 上 二 维 Laplace 方 程 的 Dirichlet 问题 μxx +μyy =0 , (x -x0) 2 +(y -y 0) 2 R 2 R =R ,即 z 在 圆|ζ-z 0 |=R 外,由柯西 -古萨定理 0 = 1 2πi |ζ-∮z 0 |=R f (ζ) ζ- z dζ,(| z -z 0 |>R) (2) 式(1)减式(2)可得 f(z)= 1 2πi |ζ-∮z 0 |=R 1 ζ-z + 1 z -ζ f (ζ)dζ, (3) 其中 1 ζ-z + 1 z -ζ = 1 (ζ-z 0)-(z -z 0) + 1 z 0 +R 2 / (z -z 0)-ζ = 1 (ζ-z 0)-(z -z 0) + (z -z 0) R 2 -(ζ-z 0)(z -z 0) = R 2 -(z -z 0)(z -z 0) (ζ-z 0)-(z -z 0) R 2 -(ζ-z 0)(z -z 0) 代入式(3)可得 49 第 24 卷第 3 期 高等函授学报(自然科学版) Vol .24 No .3 2011 年 6 月 Jou rnal of Higher Correspondence Education(Natu ral Sciences) 2011
第24卷第3期 高等函授学报（自然科学版） Vol.24 No.3 2011年6月 Jou mal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) 2011 )d0 (8) 即解析函数以及调和函数，在圆心的函数值， R2-(z-z0)(z-z0） 等于其在圆周上取值的平均值。 [(S-z0)-(z-z0)J[R2-($-z0)(z-z0月 例2求调和函数在圆域上的平均值 f()d5 (4) 解 设有调和函数(x,y),它在圆域上的 记写成指数表达式有z=z0十e,且正向 平均值为 圆周|S-zo=R的参数方程为S=zo十Re”,0: Average(:(x-xo)+(y-voR2) 0→2元，于是式中积分可化为定积分 = πR u(x,y)dxdy f() 2xiJo (-)2H-2<R2 R- Rere [RRe "re(0+Re)dRe (作极坐标变换) =a广w+mn十rn0n0 2 R2-2 2xiJo Re-ej[R2-Reefo+ Re)Re"id = 〔Re- R re(zo+ 奈n+m8m+nd闲山 Re)do (利用第(8)式) R2-r2 2 2πJ0 R2+r2-Re-efe0+ =是0(mo)t Re)d0 =(x0,y0) R2-2 即调和函数在圆域上的平均值，等于其在圆 2R2Rrcos (0(0+Re)d0 心处的取值 即解析函数在圆内的取值，完全由所在位置 πR2 (x,y)dxdy =u(xo,yo) 以及其在圆周上的取值决定 f(zo re") (9) R2-2 3结论 R+-2cos(0-/(2o+Re)d0 (5) 从复变函数的角度，推广了文献[]中的 比较式两端的实部。有 Poisson积分，证明了圆心在任意点的圆域上的 (ro十rcos,o十rsin)= La即lace方程的Dirichlet问题的解，与文献2定 2πJ0 (R2-2)g(xo+Rcos yo +Rsin 00 理41的结果一致：并以此为基础证明了己有的 (6) R2+r2-2Rrcos (0-) 解析函数和调和函数在圆周及圆域上的平均值公 故与解析函数类似，调和函数在圆内的函数 式 值，也是完全由所在位置以及其在圆周上的取值 决定.这与文献[2]中定理41的结果是一致的。 2任意圆域上调和函数的平均值 参考文献 引申由式以及式中，当r=0时，有 [刂西安交通大学数学教研室.工程数学：复变函数（第 +Re)d 「2 f(z0)= 四版)[M川.北京：高等教育出版社.1996103-104. (7) [谷超豪等.数学物理方程[M.上海：上海科学技术 (xo,y0)= 左0g(o+Rams&w十Rsin 出版社.1987141. 50994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
f(z)= 1 2πi |ζ-∮z 0 |=R R 2 -(z -z 0)(z -z 0) [ (ζ-z 0)-(z -z 0)] [ R 2 -(ζ-z 0)(z -z 0)] f(ζ)dζ (4) 记写成指数表达式, 有 z =z 0 +re i , 且正向 圆周 |ζ-z 0 |=R 的参数方程为ζ=z 0 +Re iθ ,θ: 0 ※2π,于是式中积分可化为定积分 f(z) = 1 2πi∫ 2 π 0 R 2 -r 2 Re iθ-re i R 2 -Re iθ re -i f (z 0 +Re iθ)dRe iθ = 1 2πi∫ 2 π 0 R 2 -r 2 Re iθ-re i R 2 -Re iθ re -i f (z 0 + Re iθ)Re iθ idθ = 1 2π∫ 2π 0 R 2 -r 2 Re iθ-re i Re -iθ-re -i f (z 0 + Re iθ)dθ = 1 2π∫ 2 π 0 R 2 -r 2 R 2 +r 2 -Rr e i(θ- ) -e -i(θ- ) f(z 0 + Re iθ)dθ = 1 2π∫ 2 π 0 R 2 -r 2 R 2 +r 2 -2Rrco s (θ- ) f(z 0 +Re iθ)dθ 即解析函数在圆内的取值, 完全由所在位置 以及其在圆周上的取值决定 f(z 0 + re i ) = 1 2π∫ 2 π 0 R 2 -r 2 R 2 +r 2 -2Rr cos (θ- ) f(z 0 +Re iθ)dθ (5) 比较式两端的实部, 有 μ(x 0 + rco s , y0 + rsin ) = 1 2π∫ 2 π 0 (R 2 -r 2)g(x0 +Rcos θ, y0 +R sin θ) R 2 +r 2 -2Rrcos (θ- ) dθ (6) 故与解析函数类似 , 调和函数在圆内的函数 值,也是完全由所在位置以及其在圆周上的取值 决定 。这与文献[ 2] 中定理 4.1 的结果是一致的 。 2 任意圆域上调和函数的平均值 引申 由式以及式中,当 r =0 时,有 f(z 0)= 1 2π∫ 2π 0 f(z 0 +Re iθ)dθ (7) μ(x 0 , y 0)= 1 2π∫ 2π 0 g(x0 +R cos θ, y0 +Rsin θ)dθ (8) 即解析函数以及调和函数 ,在圆心的函数值, 等于其在圆周上取值的平均值 。 例 2 求调和函数在圆域上的平均值 解 设有调和函数 μ(x , y), 它在圆域上的 平均值为 Average(μ:(x -x0) 2 +(y -y0) 2 ≤R 2) = 1 πR 2 (x-x 0 )2 + (y-y 0 )2 <R 2 μ(x , y)dx dy (作极坐标变换) = 1 πR 2∫ R 0 dr∫ 2π 0 μ(x0 +rco s θ, y 0 +rsin θ)rdθ = 2π πR 2∫ R 0 r 1 2π∫ 2π 0 μ(x0 +rcos θ, y0 +rsin θ)dθdr (利用第(8)式) = 2 R 2∫ R 0 rμ(x0 , y0)dr =μ(x0 , y0) 即调和函数在圆域上的平均值 , 等于其在圆 心处的取值 1 πR 2 (x-x 0 ) 2+ (y-y 0 ) 2 <R 2 μ(x , y)dxd y =μ(x0 , y0) (9) 3 结论 从复变函数的角度 , 推广了文献[ 1] 中的 Poisson 积分, 证明了圆心在任意点的圆域上的 Laplace 方程的 Dirichle t 问题的解 ,与文献[ 2] 定 理 4.1 的结果一致;并以此为基础证明了已有的 解析函数和调和函数在圆周及圆域上的平均值公 式。 参 考 文 献 [ 1] 西安交通大学数学教研室.工程数学:复变函数(第 四版)[ M] .北京:高等教育出版社, 1996 ∶103-104. [ 2] 谷超豪等.数学物理方程[ M] .上海:上海科学技术 出版社, 1987 ∶141. 50 第 24 卷第 3 期 高等函授学报(自然科学版) Vol .24 No .3 2011 年 6 月 Jou rnal of Higher Correspondence Education(Natu ral Sciences) 2011