2016年1月 西南民族大学学报（自然科学版） Jan.2016 第42卷第1期 Journal of Southwest University for Nationalities(Natural Science Edition) Vol.42 No.1 doi:10.11920/xnmdzk.2016.01.016 有关K-调和函数的一些性质 何萍张邵斌 (红河学院数学学院，云南蒙自661199) 摘要：复变函数理论赦广泛地应用到空气动力学、理论物理、电子技术、热学等许多方面.文章根据K-laplace算子 和K-调和函数的定义，运用偏导数的数学思想，讨论了一对共轭K-调和函数的乘积仍为K-调和函数；K-调和函 数的线性组合仍是K-调和函数.同时，获得K-解析函数的虚部是此函数的实部的共轭K-调和函数，而共軛K-调 和函数也可以构造K一解析函数.所得结论是解析函数与调和函数理论的应用. 关键词：K-laplace算子；K-调和函数；K-解析函数；Cauchy-Riemann-K方程 中图分类号：0174.5 文献标志码：A 文章编号：20954271(2016)01009204 Some properties of K-harmonic function HE Ping,ZHANG Shao-bin (Department of Mathematics,Honghe University,Mengzi 661199,P.R.C.) Abstract:The complex function theory is widely used in many aspects such as aerodynamics,theoretical physics,electronic technology.This paper is based on the definitions of K-laplace operator and K-harmonic function,uses the partial derivative in mathematics,and discusses the fact that the product of a pair of conjugate K-harmonic functions is K-harmonic func- tions,and that the linear combinations of K-Harmonic function are K-Harmonic function.At the same time,it proves that the imaginary part of K-analytic function is conjugate K-Harmonic function of real part of the K-analytic function,and that K -analytic functions are constructed by the conjugate K-Harmonic function.The conclusion is the application of analytic func- tion and harmonic function theory. Key words:K-laplace operator:K-harmonic function:K-analytic function:Cauchy-Riemann-K equation 调和函数和解析函数有着密切的关系，在许多实 则s=9,-业.，t=P.+业，也是调和函数，且f(z）= 际问题中我们遇到的往往不是解析函数，而是解析函 s+it是解析函数. 数的实部或虚部，即调和函数.如物理学中许多问题 另外，张建元教授在2007年发表的“K-解析函 都是通过转化为Dirichlet问题找出具有给定边值的 数及其存在的条件”回一文中，定义了K-解析函数 调和函数问题， 和Cauchy-Riemann-K方程并研究了K-解析函数 2006年冯志新发表“有关调和函数的一组结 存在的条件.2011年李咏梅发表的“由K-调和函数 论”)一文中研究了调和函数的一些性质。 构造K一解析函数及其性质”可一文中其自定义了 定理1一对共轭调和函数的乘积仍为调和函 K-调和函数和K-laplace算子.受这些结论的启 数 发，本文把调和函数的性质推广到K-调和函数时也 定理2若函数p(x,y),亚(x,y）为调和函数， 成立 收稿日期：20150514 作者简介：何萍：(1981-），女，副教授，研究方向：复分析：E-mail:hepingky@163.com 基金项目：国家自然科学基金(11301160)：云南省自然科学基金(2013FZ116):红河学院科研基金项目(XJ14Y05) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
西南民族大学学报( 自然科学版) 第 42 卷 2016 年 1 月 第 42 卷第 1 期 西南民族大学学报( 自然科学版) Journal of Southwest University for Nationalities( Natural Science Edition) Jan. 2016 Vol. 42 No. 1 doi: 10. 11920 /xnmdzk. 2016. 01. 016 有关 K － 调和函数的一些性质 何萍 张邵斌 ( 红河学院数学学院，云南 蒙自 661199) 摘 要: 复变函数理论被广泛地应用到空气动力学、理论物理、电子技术、热学等许多方面． 文章根据 K － laplace 算子 和 K － 调和函数的定义，运用偏导数的数学思想，讨论了一对共轭 K － 调和函数的乘积仍为 K － 调和函数; K － 调和函 数的线性组合仍是 K － 调和函数． 同时，获得 K － 解析函数的虚部是此函数的实部的共轭 K － 调和函数，而共轭 K － 调 和函数也可以构造 K － 解析函数． 所得结论是解析函数与调和函数理论的应用． 关键词: K － laplace 算子; K － 调和函数; K － 解析函数; Cauchy － Ｒiemann － K 方程 中图分类号: O174． 5 文献标志码: A 文章编号: 2095-4271( 2016) 01-0092-04 收稿日期: 2015-05-14 作者简介: 何萍: ( 1981 － ) ，女，副教授，研究方向: 复分析; E-mail: hepingky@ 163. com 基金项目: 国家自然科学基金( 11301160) ; 云南省自然科学基金( 2013FZ116) ; 红河学院科研基金项目( XJ14Y05) Some properties of K-harmonic function HE Ping，ZHANG Shao-bin ( Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，P. Ｒ. C. ) Abstract: The complex function theory is widely used in many aspects such as aerodynamics，theoretical physics，electronic technology. This paper is based on the definitions of K － laplace operator and K － harmonic function，uses the partial derivative in mathematics，and discusses the fact that the product of a pair of conjugate K － harmonic functions is K － harmonic functions，and that the linear combinations of K － Harmonic function are K － Harmonic function. At the same time，it proves that the imaginary part of K － analytic function is conjugate K － Harmonic function of real part of the K － analytic function，and that K － analytic functions are constructed by the conjugate K － Harmonic function. The conclusion is the application of analytic function and harmonic function theory． Key words: K － laplace operator; K － harmonic function; K － analytic function; Cauchy － Ｒiemann － K equation 调和函数和解析函数有着密切的关系，在许多实 际问题中我们遇到的往往不是解析函数，而是解析函 数的实部或虚部，即调和函数． 如物理学中许多问题 都是通过转化为 Dirichlet 问题找出具有给定边值的 调和函数问题． 2006 年冯 志 新 发 表“有关调和函数的一组结 论”［1］一文中研究了调和函数的一些性质． 定理 1 一对共轭调和函数的乘积仍为调和函 数． 定理 2 若函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为调和函数， 则 s = φy － Ψx ，t = φx + Ψy 也是调和函数，且 f( z) = s + it 是解析函数． 另外，张建元教授在 2007 年发表的“K － 解析函 数及其存在的条件”［2］ 一文中，定义了 K － 解析函数 和 Cauchy － Ｒiemann － K 方程并研究了 K － 解析函数 存在的条件 . 2011 年李咏梅发表的“由 K － 调和函数 构造 K － 解析函数及其性质”［3］ 一文中其自定义了 K － 调和函数和 K － laplace 算子 . 受这些结论的启 发，本文把调和函数的性质推广到 K － 调和函数时也 成立．
第1期 何萍，等：有关K-调和函数的一些性质 93 1基本概念 证明因为f(z)=u(x,y）+iw(x,y)在区域D内 K-解析，则由Cauchy-Riemann-K方程得 张建元教授在“K-解析函数及其存在的条件” 回一文中，定义了K-解析函数和Cauchy-Riemann ax -K方程并研究了K-解析函数存在的条件。 得 定义1若f(z)在区域D内K-可导，称f(z)在 、a2vau。a2u D内K-解析；f(z)在：=。的某个领域内K-可导， Isayin'l axay 称f(z)在o是K-解析. 因与在D内连续，有=，从 定义2设函数f(z)=u(x,y）+iw(x,y),其中 axay ayax axay ayax 而 u,v为二元实函数，若f(z)在z∈D是K-可导，且K -导数m日=四恐其中4,4分别为 是0 40 同理，在D内有 △f的实部和虚部. d'v d'v 当△y=0时 服+a=0. fw()=业+i识=u,+他.， 即u(x,y）,v(x,y）在D内满足K-Lapalace方 ax 程 当△x=0时 Au =u 'u 加日=箭-器-学 = 由共轭K-调和函数的定义知u(x,y）为u(x,y) 由上两式得 在区域D内的共轭K-调和函数. 3相关结论 这两个等式称为Cauchy-Riemann-K方程，简 定理3 一对共轭K-调和函数的乘积仍为K一 记为C.-R.-K方程. 调和函数. 定义3K-Laplace算子是△=+： 2 证明设山(x,y）,U,(x,y）是一对共轭K-调和 函数，则u4(x,y）,4(x,y）二阶偏导数均连续，且满 定义4设函数山4(x,y)在区域D上有定义，若 图 uk(x,y）有二阶连续偏导数，且满足K-Laplace方程 K-Laplace方程 4一股+带=0，则称《)为区骏D上的人 山姓+=0， ax2 k2av -调和函数回」 a'vr o'v 定义5在区域D内满足Cauchy-Riemann-K 方程 Cauchy-Riemann-K方程 的两个K-调和函数u,v中，v称为u在区域D 令0=u4(x,y）·(x,y）,则 内的共轭K-调和函数0. 尝小 2引理 引理1若f(z)=u(x,y)+im(x,y)在区域D内 +u.+a.+u4 dx2 K-解析，则v(x,y)必为u(x,y）的共轭K-调和函 8uk 数.回 dx? ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 1 期 何萍，等: 有关 K － 调和函数的一些性质 1 基本概念 张建元教授在“K － 解析函数及其存在的条件” ［2］一文中，定义了 K － 解析函数和 Cauchy － Ｒiemann － K 方程并研究了 K － 解析函数存在的条件． 定义 1 若 f( z) 在区域 D 内 K － 可导，称 f( z) 在 D 内 K － 解析; f( z) 在 z = z0 的某个领域内 K － 可导， 称 f( z) 在 z0 是 K － 解析． 定义 2 设函数 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) ，其中 u，v 为二元实函数，若 f( z) 在 z ∈ D 是 K － 可导，且 K － 导数 f ＇ ( k) ( z) = limΔx→0 Δy→0 Δu + iΔv Δx + ikΔy ，其中 Δu，Δv 分别为 Δf 的实部和虚部． 当 Δy = 0 时 f ＇ ( k) ( z) = u x + i v x = ux + ivx ， 当 Δx = 0 时 f ＇ ( k) ( z) = 1 k v y － i k u y = vy k － i uy k ． 由上两式得 ux = vy k ，vx = － uy k ． 这两个等式称为 Cauchy － Ｒiemann － K 方程，简 记为 C·－ Ｒ·－ K 方程． 定义 3 K － Laplace 算子是 Δ ≡ 2 x 2 + 2 k 2 y 2 ． 定义 4 设函数 uk ( x，y) 在区域 D 上有定义，若 uk ( x，y) 有二阶连续偏导数，且满足 K － Laplace 方程 Δu ≡ 2 u x 2 + 2 u k 2 y 2 = 0 ，则称 uk ( x，y) 为区域 D 上的 K － 调和函数［3］． 定义 5 在区域 D 内满足 Cauchy － Ｒiemann － K 方程 ux = vy k ，vx = － uy k ． 的两个 K － 调和函数 u ，v 中，v 称为 u 在区域 D 内的共轭 K － 调和函数［4］． 2 引理 引理 1 若 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 在区域 D 内 K － 解析，则 v( x，y) 必为 u( x，y) 的共轭 K － 调和函 数． ［4］ 证明 因为 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 在区域 D 内 K － 解析，则由 Cauchy － Ｒiemann － K 方程得 u x = v ky ，u ky = － v x ． 得 2 u x 2 = 2 v kyx ， 2 u ky 2 = － 2 v xy ． 因 2 v xy 与 2 v yx 在 D 内连续，有 2 v xy = 2 v yx ，从 而 2 u x 2 + 2 u k 2 y 2 = 0 ． 同理，在 D 内有 2 v x 2 + 2 v k 2 y 2 = 0 ． 即 u( x，y) ，v( x，y) 在 D 内满足 K － Lapalace 方 程 Δu ≡ 2 u x 2 + 2 u k 2 y 2 = 0 ，Δv ≡ 2 v x 2 + 2 v k 2 y 2 = 0 ． 由共轭 K － 调和函数的定义知 v( x，y) 为 u( x，y) 在区域 D 内的共轭 K － 调和函数． 3 相关结论 定理 3 一对共轭 K － 调和函数的乘积仍为 K － 调和函数． 证明 设 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 是一对共轭 K － 调和 函数，则 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 二阶偏导数均连续，且满 足 K － Laplace 方程 2 uk x 2 + 2 uk k 2 y 2 = 0 ， 2 vk x 2 + 2 vk k 2 y 2 = 0 ． Cauchy － Ｒiemann － K 方程 ux = vy k ，vx = － uy k ． 令 w = uk ( x，y) ·vk ( x，y) ，则 2 w x 2 = uk x ( ) ·vk + uk·vk ( ){ } x x = 2 uk x 2 ·vk + uk x ·vk x + uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 = 2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 ． 93
94 西南民族大学学报（自然科学版） 第42卷 同理可得 而 d'w as=a(02-12.a)=g.y ax ax\ay ax ayax 2. +.++4 串=制影…恶 ay ay\ay dxoy ay2 ay ay ayay 0y2 ·4+2.4 =k(架+=k.g+k业 ax ax(ax ay dyox dy dy +ug =k哭+)=ke+k. 故 ay ay\ax ay axdy 2 d'w,d'w d'uk d'vk 因为p(x,y）,平(x,y）满足K-Laplace方程. d? +2业.肥+4 + 则 ·4+2 du.dk ay ay +ug 2/ dx2 kay dr ·4+2. +uk· + -业 亚 ax kay 5·4+2u. avk 又因为二阶混合偏导连续，故 Ka 2+a 8'ug 鼎品 ·(+隐)+0·是+ ax ax ay ay a2业a2亚业 + axay ayax 从而 因为u,(x,y）,(x,y）是一对共轭K-调和函 数，满足K-Laplace方程、Cauchy-Riemann-K方 程 即s=p,-Ψ.，t=k(p.+业，)满足Cauchy 故 -Riemann-K方程.于是f(z)=s+it是K-解析 函数.由引理1，可得t=k(p+业，)是s=9,- 2平.共轭K-调和函数，证毕. 0+2(-y+ a.au+u.u）+ 3结束语 44·0=0 根据K-调和函数和K-解析函数定义，运用 即0=uk(x,y）·(x,y）满足K-Laplace方程， Cauchy-Riemann-K方程及K-Laplace算子对K- 故山(x,y）,(x,y）的乘积仍为K-调和函数.证 调和函数的性质进行研究.调和函数与解析函数是K 毕 -调和函数与K-解析函数在k=1时的特殊情况. 定理4若函数p(x,y）,亚(x,y）为K-调和函 因此，我们可以由更多的调和函数及解析函数的性 数，则1=k(p.+亚，)是s=9,-Ψ共轭K-调和 质，探究K-调和函数与K一解析函数是否也具有此 函数，且f(z)=s+t是K-解析函数. 类的性质？ 证明函数p(x,y）,业(x,y)为K-调和函数， 故二阶偏导数均连续，且满足K-Laplace方程 参考文献 g+9=0, ]冯志新.有关调和函数的一组结论】.吉林师范大学学报：自然 ax2 kay 版，2006,2：97-99. 胖+瑞0 [2]张建元.K-解析函数及其存在的条件们.云南民族大学学报：自 然版，2007,16(4)：298-302. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
西南民族大学学报( 自然科学版) 第 42 卷 同理可得 2 w y 2 = uk y ( ) ·vk + uk·vk ( ){ } y y = 2 uk y 2 ·vk + uk y ·vk y + uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 = 2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 ． 故 2 w x 2 + 2 w k 2 y 2 = 2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 + 1 k 2 2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y ( ) 2 = 2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 + 2 uk k 2 y 2·vk + 2 uk y · vk k 2 y + uk· 2 vk k 2 y 2 = vk· 2 uk x 2 + 2 uk k 2 y ( ) 2 + 2 uk x ·vk x + uk y · vk k 2 ( ) y + uk· 2 vk x 2 + 2 vk k 2 y ( ) 2 ． 因为 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 是一对共轭 K － 调和函 数，满足 K － Laplace 方程、Cauchy － Ｒiemann － K 方 程． 故 2 w x 2 + 2 w k 2 y 2 = vk·0 + 2· － vk y · uk k 2 y + uk y · vk k 2 ( ) y + uk·0 = 0 即 w = uk ( x，y) ·vk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程， 故 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 的乘积仍为 K － 调和函数 . 证 毕． 定理 4 若函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K － 调和函 数，则 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K － 调和 函数，且 f( z) = s + it 是 K － 解析函数． 证明 函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K － 调和函数， 故二阶偏导数均连续，且满足 K － Laplace 方程 2 φ x 2 + 2 φ k 2 y 2 = 0 ， 2 Ψ x 2 + 2 Ψ k 2 y 2 = 0 ． 而 s x = x φ y － k 2 ·Ψ ( ) x = 2 φ yx － k 2 · 2 Ψ x 2 ， s y = y φ y － k 2 ·Ψ ( ) x = 2 φ y 2 － k 2 · 2 Ψ xy ， t x = k· x φ x + Ψ ( ) y = k· 2 φ x 2 + k· 2 Ψ yx ， t y = k· y φ x + Ψ ( ) y = k· 2 φ xy + k· 2 Ψ y 2 ． 因为 φk ( x，y) ，Ψk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程． 则 2 φ x 2 = － 2 φ k 2 y 2 ， 2 Ψ x 2 = － 2 Ψ k 2 y 2 ． 又因为二阶混合偏导连续，故 2 φ yx = 2 φ xy ， 2 Ψ xy = 2 Ψ yx ． 从而 sx = ty k ，tx = － sy k ． 即 s = φy － k 2 Ψx ，t = k( φx + Ψy ) 满足 Cauchy － Ｒiemann － K 方程 . 于是 f( z) = s + it 是 K － 解析 函数 . 由引理 1，可得 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K － 调和函数，证毕． 3 结束语 根据 K － 调和函数和 K － 解析函数定义，运用 Cauchy － Ｒiemann － K 方程及 K － Laplace 算子对 K － 调和函数的性质进行研究． 调和函数与解析函数是 K － 调和函数与 K － 解析函数在 k = 1 时的特殊情况． 因此，我们可以由更多的调和函数及解析函数的性 质，探究 K － 调和函数与 K － 解析函数是否也具有此 类的性质? 参考文献 ［1］冯志新 . 有关调和函数的一组结论［J］． 吉林师范大学学报: 自然 版，2006，2: 97 － 99． ［2］张建元. K － 解析函数及其存在的条件［J］． 云南民族大学学报: 自 然版，2007，16( 4) : 298 － 302． 94
第1期 何萍，等：有关K-调和函数的一些性质 95 B]何萍，李咏梅.由K-调和函数构造K-解析函数].贵州师范 民族大学学报：自然科学版，2011,37(2)：167-171. 大学学报：自然版，2012,30(5)：49-52. 0]张建元.K-解析函数的K-留数定理门.西南民族大学学报： [4]钟玉泉.复变函数论0.3版.北京：高等教有出版社，2004：113. 自科版，2009,35(5)：951-956. [5]路见可，钟寿国.复变函数们.2版.武汉：武汉大学出版社， 02]郑建华.复分析M0.北京：清华大学出版社，2000：18-190. 2007:22-23. 03]张毅敏，张建元，赵书芬.K-留数及其应用们.云南师范大学学 [6]卢玉峰，刘西民.复变函数0.北京：高等教有出版社，2008：22. 报：自科版，2010,30(2)：15-20. ]廖学余，款为珍.复变函数论方法门.湖北：武汉理工大学出版 4)张建元.共轭解析函数的Riemann边值问题门.北京工业大学 社，2003. 学报，1996,22(3)：99-106. 8]李庆忠.复变函数M0.北京：科学出版社，2000：152-153. 山5]陈方权，蒋绍惠.解析函数论基础门.北京：北京师范大学出 9]蒋月评，李月衡，刘楚中.复变函数].2版.长沙：湖南大学出版 版，1987：145-246. 社.2007. 06]张锦豪，邱维元.复变函数论0.北京：高等教有出版社，施普 D0张建元，刘秀，吴科.K-对称变换及其K保圆（周）性].西南 林格出版社，2002：3-213. (责任编辑：付强，张阳，李建忠，罗敏；英文编辑：周序林) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 1 期 何萍，等: 有关 K － 调和函数的一些性质 ［3］何萍，李咏梅 . 由 K － 调和函数构造 K － 解析函数［J］． 贵州师范 大学学报: 自然版，2012，30( 5) : 49 － 52． ［4］钟玉泉 . 复变函数论［M］． 3 版． 北京: 高等教育出版社，2004: 113． ［5］路见可，钟寿国 . 复变函数［M］． 2 版． 武汉: 武汉大学出版社， 2007: 22 － 23． ［6］卢玉峰，刘西民 . 复变函数［M］． 北京: 高等教育出版社，2008: 22． ［7］廖学余，敖为珍 . 复变函数论方法［M］． 湖北: 武汉理工大学出版 社，2003． ［8］李庆忠 . 复变函数［M］． 北京: 科学出版社，2000: 152 － 153． ［9］蒋月评，李月衡，刘楚中 . 复变函数［M］． 2 版． 长沙: 湖南大学出版 社 . 2007． ［10］张建元，刘秀，吴科 . K － 对称变换及其 K 保圆( 周) 性［J］． 西南 民族大学学报: 自然科学版，2011，37( 2) : 167 － 171． ［11］张建元 . K － 解析函数的 K － 留数定理［J］． 西南民族大学学报: 自科版，2009，35( 5) : 951 － 956． ［12］郑建华 . 复分析［M］． 北京: 清华大学出版社，2000: 18 － 190． ［13］张毅敏，张建元，赵书芬 . K － 留数及其应用［J］． 云南师范大学学 报: 自科版，2010，30( 2) : 15 － 20． ［14］张建元 . 共轭解析函数的 Ｒiemann 边值问题［J］． 北京工业大学 学报，1996，22( 3) : 99 － 106． ［15］陈方权，蒋绍惠 . 解析函数论基础［M］． 北京: 北京师范大学出 版，1987: 145 － 246． ［16］张锦豪，邱维元 . 复变函数论［M］． 北京: 高等教育出版社，施普 林格出版社，2002: 3 － 213. ( 责任编辑: 付强，张阳，李建忠，罗敏; 英文编辑: 周序林) 95
