《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）有关K－调和函数的一些性质.pdf_大学文库

2016年1月西南民族大学学报（自然科学版） Jan.2016 第42卷第1期 Journal of Southwest University for Nationalities(Natural Science Edition) Vol.42 No.1 doi:10.11920/xnmdzk.2016.01.016 有关K-调和函数的一些性质何萍张邵斌 (红河学院数学学院，云南蒙自661199) 摘要：复变函数理论赦广泛地应用到空气动力学、理论物理、电子技术、热学等许多方面.文章根据K-laplace算子和K-调和函数的定义，运用偏导数的数学思想，讨论了一对共轭K-调和函数的乘积仍为K-调和函数；K-调和函数的线性组合仍是K-调和函数.同时，获得K-解析函数的虚部是此函数的实部的共轭K-调和函数，而共軛K-调和函数也可以构造K一解析函数.所得结论是解析函数与调和函数理论的应用. 关键词：K-laplace算子；K-调和函数；K-解析函数；Cauchy-Riemann-K方程中图分类号：0174.5 文献标志码：A 文章编号：20954271(2016)01009204 Some properties of K-harmonic function HE Ping,ZHANG Shao-bin (Department of Mathematics,Honghe University,Mengzi 661199,P.R.C.) Abstract:The complex function theory is widely used in many aspects such as aerodynamics,theoretical physics,electronic technology.This paper is based on the definitions of K-laplace operator and K-harmonic function,uses the partial derivative in mathematics,and discusses the fact that the product of a pair of conjugate K-harmonic functions is K-harmonic func- tions,and that the linear combinations of K-Harmonic function are K-Harmonic function.At the same time,it proves that the imaginary part of K-analytic function is conjugate K-Harmonic function of real part of the K-analytic function,and that K -analytic functions are constructed by the conjugate K-Harmonic function.The conclusion is the application of analytic func- tion and harmonic function theory. Key words:K-laplace operator:K-harmonic function:K-analytic function:Cauchy-Riemann-K equation 调和函数和解析函数有着密切的关系，在许多实则s=9,-业.，t=P.+业，也是调和函数，且f(z）= 际问题中我们遇到的往往不是解析函数，而是解析函 s+it是解析函数. 数的实部或虚部，即调和函数.如物理学中许多问题另外，张建元教授在2007年发表的“K-解析函都是通过转化为Dirichlet问题找出具有给定边值的数及其存在的条件”回一文中，定义了K-解析函数调和函数问题，和Cauchy-Riemann-K方程并研究了K-解析函数 2006年冯志新发表“有关调和函数的一组结存在的条件.2011年李咏梅发表的“由K-调和函数论”)一文中研究了调和函数的一些性质。构造K一解析函数及其性质”可一文中其自定义了定理1一对共轭调和函数的乘积仍为调和函 K-调和函数和K-laplace算子.受这些结论的启数发，本文把调和函数的性质推广到K-调和函数时也定理2若函数p(x,y),亚(x,y）为调和函数，成立收稿日期：20150514 作者简介：何萍：(1981-），女，副教授，研究方向：复分析：E-mail:hepingky@163.com 基金项目：国家自然科学基金(11301160)：云南省自然科学基金(2013FZ116):红河学院科研基金项目(XJ14Y05) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

西南民族大学学报( 自然科学版) 第 42 卷 2016 年 1 月第 42 卷第 1 期西南民族大学学报( 自然科学版) Journal of Southwest University for Nationalities( Natural Science Edition) Jan. 2016 Vol. 42 No. 1 doi: 10. 11920 /xnmdzk. 2016. 01. 016 有关 K －调和函数的一些性质何萍张邵斌 ( 红河学院数学学院，云南蒙自 661199) 摘要: 复变函数理论被广泛地应用到空气动力学、理论物理、电子技术、热学等许多方面．文章根据 K － laplace 算子和 K －调和函数的定义，运用偏导数的数学思想，讨论了一对共轭 K －调和函数的乘积仍为 K －调和函数; K －调和函数的线性组合仍是 K －调和函数．同时，获得 K －解析函数的虚部是此函数的实部的共轭 K －调和函数，而共轭 K －调和函数也可以构造 K －解析函数．所得结论是解析函数与调和函数理论的应用．关键词: K － laplace 算子; K －调和函数; K －解析函数; Cauchy －Ｒiemann － K 方程中图分类号: O174． 5 文献标志码: A 文章编号: 2095-4271( 2016) 01-0092-04 收稿日期: 2015-05-14 作者简介: 何萍: ( 1981 － ) ，女，副教授，研究方向: 复分析; E-mail: hepingky@ 163. com 基金项目: 国家自然科学基金( 11301160) ; 云南省自然科学基金( 2013FZ116) ; 红河学院科研基金项目( XJ14Y05) Some properties of K-harmonic function HE Ping，ZHANG Shao-bin ( Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，P. Ｒ. C. ) Abstract: The complex function theory is widely used in many aspects such as aerodynamics，theoretical physics，electronic technology. This paper is based on the definitions of K － laplace operator and K － harmonic function，uses the partial derivative in mathematics，and discusses the fact that the product of a pair of conjugate K － harmonic functions is K － harmonic functions，and that the linear combinations of K － Harmonic function are K － Harmonic function. At the same time，it proves that the imaginary part of K － analytic function is conjugate K － Harmonic function of real part of the K － analytic function，and that K － analytic functions are constructed by the conjugate K － Harmonic function. The conclusion is the application of analytic function and harmonic function theory． Key words: K － laplace operator; K － harmonic function; K － analytic function; Cauchy －Ｒiemann － K equation 调和函数和解析函数有着密切的关系，在许多实际问题中我们遇到的往往不是解析函数，而是解析函数的实部或虚部，即调和函数．如物理学中许多问题都是通过转化为 Dirichlet 问题找出具有给定边值的调和函数问题． 2006 年冯志新发表“有关调和函数的一组结论”［1］一文中研究了调和函数的一些性质．定理 1 一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数．定理 2 若函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为调和函数，则 s = φy － Ψx ，t = φx + Ψy 也是调和函数，且 f( z) = s + it 是解析函数．另外，张建元教授在 2007 年发表的“K －解析函数及其存在的条件”［2］一文中，定义了 K －解析函数和 Cauchy －Ｒiemann － K 方程并研究了 K －解析函数存在的条件 . 2011 年李咏梅发表的“由 K －调和函数构造 K －解析函数及其性质”［3］一文中其自定义了 K －调和函数和 K － laplace 算子 . 受这些结论的启发，本文把调和函数的性质推广到 K －调和函数时也成立．

第 1 期何萍，等: 有关 K －调和函数的一些性质 1 基本概念张建元教授在“K －解析函数及其存在的条件” ［2］一文中，定义了 K －解析函数和 Cauchy －Ｒiemann － K 方程并研究了 K －解析函数存在的条件．定义 1 若 f( z) 在区域 D 内 K －可导，称 f( z) 在 D 内 K －解析; f( z) 在 z = z0 的某个领域内 K －可导，称 f( z) 在 z0 是 K －解析．定义 2 设函数 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) ，其中 u，v 为二元实函数，若 f( z) 在 z ∈ D 是 K －可导，且 K －导数 f ＇ ( k) ( z) = limΔx→0 Δy→0 Δu + iΔv Δx + ikΔy ，其中 Δu，Δv 分别为 Δf 的实部和虚部．当 Δy = 0 时 f ＇ ( k) ( z) = u x + i v x = ux + ivx ，当 Δx = 0 时 f ＇ ( k) ( z) = 1 k v y － i k u y = vy k － i uy k ．由上两式得 ux = vy k ，vx = － uy k ．这两个等式称为 Cauchy －Ｒiemann － K 方程，简记为 C·－Ｒ·－ K 方程．定义 3 K － Laplace 算子是 Δ ≡  2 x 2 +  2 k 2 y 2 ．定义 4 设函数 uk ( x，y) 在区域 D 上有定义，若 uk ( x，y) 有二阶连续偏导数，且满足 K － Laplace 方程 Δu ≡  2 u x 2 +  2 u k 2 y 2 = 0 ，则称 uk ( x，y) 为区域 D 上的 K －调和函数［3］．定义 5 在区域 D 内满足 Cauchy －Ｒiemann － K 方程 ux = vy k ，vx = － uy k ．的两个 K －调和函数 u ，v 中，v 称为 u 在区域 D 内的共轭 K －调和函数［4］． 2 引理引理 1 若 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 在区域 D 内 K －解析，则 v( x，y) 必为 u( x，y) 的共轭 K －调和函数．［4］证明因为 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 在区域 D 内 K －解析，则由 Cauchy －Ｒiemann － K 方程得 u x = v ky ，u ky = － v x ．得  2 u x 2 =  2 v kyx ， 2 u ky 2 = －  2 v xy ．因  2 v xy 与  2 v yx 在 D 内连续，有  2 v xy =  2 v yx ，从而  2 u x 2 +  2 u k 2 y 2 = 0 ．同理，在 D 内有  2 v x 2 +  2 v k 2 y 2 = 0 ．即 u( x，y) ，v( x，y) 在 D 内满足 K － Lapalace 方程 Δu ≡  2 u x 2 +  2 u k 2 y 2 = 0 ，Δv ≡  2 v x 2 +  2 v k 2 y 2 = 0 ．由共轭 K －调和函数的定义知 v( x，y) 为 u( x，y) 在区域 D 内的共轭 K －调和函数． 3 相关结论定理 3 一对共轭 K －调和函数的乘积仍为 K －调和函数．证明设 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 是一对共轭 K －调和函数，则 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 二阶偏导数均连续，且满足 K － Laplace 方程  2 uk x 2 +  2 uk k 2 y 2 = 0 ，  2 vk x 2 +  2 vk k 2 y 2 = 0 ． Cauchy －Ｒiemann － K 方程 ux = vy k ，vx = － uy k ．令 w = uk ( x，y) ·vk ( x，y) ，则  2 w x 2 =  uk x ( ) ·vk + uk·vk  ( ){ } x x =  2 uk x 2 ·vk + uk x ·vk x + uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 =  2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 ． 93

西南民族大学学报( 自然科学版) 第 42 卷同理可得  2 w y 2 =  uk y ( ) ·vk + uk·vk  ( ){ } y y =  2 uk y 2 ·vk + uk y ·vk y + uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 =  2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 ．故  2 w x 2 +  2 w k 2 y 2 =  2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 + 1 k 2  2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y ( ) 2 =  2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 +  2 uk k 2 y 2·vk + 2 uk y · vk k 2 y + uk·  2 vk k 2 y 2 = vk·  2 uk x 2 +  2 uk k 2 y ( ) 2 + 2 uk x ·vk x + uk y · vk k 2  ( ) y + uk·  2 vk x 2 +  2 vk k 2 y ( ) 2 ．因为 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 是一对共轭 K －调和函数，满足 K － Laplace 方程、Cauchy －Ｒiemann － K 方程．故  2 w x 2 +  2 w k 2 y 2 = vk·0 + 2· － vk y · uk k 2 y + uk y · vk k 2  ( ) y + uk·0 = 0 即 w = uk ( x，y) ·vk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程，故 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 的乘积仍为 K －调和函数 . 证毕．定理 4 若函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K －调和函数，则 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K －调和函数，且 f( z) = s + it 是 K －解析函数．证明函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K －调和函数，故二阶偏导数均连续，且满足 K － Laplace 方程  2 φ x 2 +  2 φ k 2 y 2 = 0 ，  2 Ψ x 2 +  2 Ψ k 2 y 2 = 0 ．而 s x =  x φ y － k 2 ·Ψ  ( ) x =  2 φ yx － k 2 · 2 Ψ x 2 ， s y =  y φ y － k 2 ·Ψ  ( ) x =  2 φ y 2 － k 2 · 2 Ψ xy ， t x = k·  x φ x + Ψ  ( ) y = k· 2 φ x 2 + k· 2 Ψ yx ， t y = k·  y φ x + Ψ  ( ) y = k·  2 φ xy + k· 2 Ψ y 2 ．因为 φk ( x，y) ，Ψk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程．则  2 φ x 2 = －  2 φ k 2 y 2 ，  2 Ψ x 2 = －  2 Ψ k 2 y 2 ．又因为二阶混合偏导连续，故  2 φ yx =  2 φ xy ，  2 Ψ xy =  2 Ψ yx ．从而 sx = ty k ，tx = － sy k ．即 s = φy － k 2 Ψx ，t = k( φx + Ψy ) 满足 Cauchy －Ｒiemann － K 方程 . 于是 f( z) = s + it 是 K －解析函数 . 由引理 1，可得 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K －调和函数，证毕． 3 结束语根据 K －调和函数和 K －解析函数定义，运用 Cauchy －Ｒiemann － K 方程及 K － Laplace 算子对 K －调和函数的性质进行研究．调和函数与解析函数是 K －调和函数与 K －解析函数在 k = 1 时的特殊情况．因此，我们可以由更多的调和函数及解析函数的性质，探究 K －调和函数与 K －解析函数是否也具有此类的性质? 参考文献［1］冯志新 . 有关调和函数的一组结论［J］．吉林师范大学学报: 自然版，2006，2: 97 － 99．［2］张建元. K －解析函数及其存在的条件［J］．云南民族大学学报: 自然版，2007，16( 4) : 298 － 302． 94