第32卷第3期 内蒙古农业大学学报 Vol.32 No.3 2011年7月 Journal of Inner Mongolia Agricultural University Jul.2011 解析函数的等价刻画及其应用 宫小芳 (内蒙古体有职业学院，呼和浩特010050) 摘要：本文给出柯西、柯西-黎曼、外尔斯特拉斯、莫勒拉定义解析函数的等价性，并讨论了解析函数在证明代数 基本定理的应用。 关键词：解析函数：一致可微性：代数基本定理：柯西积分定理 中图分类号：0174.55 文献标识码：A文章编号：1009-3575(2011)03-0325-03 ANALYZE EQUIVALENCE PORTRAYING AND APPLICATION OF THE FUNCTION GONG Xiao-fang (Inner Mongolia Vocationd College of Physical Education,Hohhot 010050,China) Abstract:The article presents the equal value of Analytic Function defined by Cauchy,Cauchy-Riemann,Weierstrass and Molella. It also discusses the use of Analytic Function in proving the basic theorem of Algebra. Key words:Anayltic function:equivalent propsitions:uniform differentiable function 解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数。 1解析函数的等价刻画 众所周知，若复变函数f(z)在区域D内，满足下列4个条件之一，∫(z)就在区域D内 解析： L.1函数f(z)在D内处处可微 1.2函数f(z)=U(x,y)+i(x,y)在D内确定，U(x,y),V(x,y)在D内可微，且满足 C-R条件U.=P,U,=-' 1.3f(z)单连通区域D内连续，且对D内任一逐段光滑简单闭曲线C都有[f(z)=0 L.4对于Vz∈D都存在一个邻域，在此邻域内∫(z)能展成幂级数。 其中条件一，是由解析函数的创始人柯西(Cucy),条件二进一步说明复变函数与实变 函数本质上的区别：用条件三的观点来研究解析函数，由莫勒拉(Mor℃la)提出：条件四是 由外尔斯特拉斯(Weierstlase)提出，他从幂级数这个角度出发，展现了解析函数独特而和 谐的性质。 斧碧昌界：窖方).女达醉尔闲，讲师，主要从事数学教学与研究 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 32 卷 第 3 期 2011 年 7 月 内蒙古农业大学 学 报 Journal of Inner Mongolia Agricultural University Vol． 32 No． 3 Jul． 2011 解析函数的等价刻画及其应用* 宫小芳 ( 内蒙古体育职业学院，呼和浩特 010050) 摘要: 本文给出柯西、柯西 － 黎曼、外尔斯特拉斯、莫勒拉定义解析函数的等价性，并讨论了解析函数在证明代数 基本定理的应用。 关键词: 解析函数; 一致可微性; 代数基本定理; 柯西积分定理 中图分类号: O 174． 55 文献标识码: A 文章编号:1009 － 3575( 2011) 03 － 0325 － 03 ANALYZE EQUIVALENCE PORTRAYING AND APPLICATION OF THE FUNCTION GONG Xiao － fang ( Inner Mongolia Vocationd College of Physical Education，Hohhot 010050，China) Abstract: The article presents the equal value of Analytic Function defined by Cauchy，Cauchy － Riemann，Weierstrass and Molella． It also discusses the use of Analytic Function in proving the basic theorem of Algebra． Key words: Anayltic function; equivalent propsitions; uniform differentiable function * 收稿日期: 2011 － 04 － 18 作者简介: 宫小芳( 1961 － ) ，女( 达斡尔族) ，讲师，主要从事数学教学与研究．
326 内蒙古农业大学学报 2011年 以上各条，都可作为函数(z)解析的定义，因此有必要证明它们相互等价。为此，先 证明以下引理： 引理1：f(z)在D上一致可微~对Hε>0,6>0，对zo,z1,z2∈D,只要 0"，f(z)在D内一致可微台对ε>0,36>0，对z,z。∈D,只要 00，取6。=6（如上)，任取20,21,22∈D，若 00,36>0.对，5∈D,只要0N时，有 000 对6>0，由条件存在仅与6有关的6。>0，.对z1,z2∈D,当 0N1时，0o,.W2,当 >N:时.Fe)maxW,,便有0<华。-<8F(e,)-A<气同时成立. ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 327 于是，由假设当00,36>0(6仅与e有关)，对zo,2∈D,只要00，对6。=上(（NmeN,Z,eD,2n≠≠，≠z, 使0N。时， 0/）f儿-feN,时，有 f(n)-f()f(in)-f(Eo) 2i-2n 2m-20 f(n)-f(=)_f(e)-f() 2%-2 2m-20 4 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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328 内蒙古农业大学学报 2011年 由(4)，(5)：当n>max(No,N1)时，有 f(%)-f(e）f(2”)-f(2m)f(z)-f2m)f(2n,)-f(z) 2-2. 2-2n 24-20 (6) fn)-f儿e）-f's*4= 2m-20 4 由于()对1∈N都成立，因此()和(6)矛盾，所以f(z)在D上一致可微。 下面将按照(1)>(3)→(4)→()→(2)>(1)的顺序，证明解析函数四个定义的等价性。 (1)→(3)： 证明：设D为一单连通区域，C为D内任一简单闭曲线，，C为D内简单闭曲线，∴必 有界。因此，一定存在各边分别平行于坐标轴的矩形恰好包含C。由于(z)在D上可微， 由引理2可知，f(z)在以C为边界的闭区域上一致可微（记此闭区域为A)。 .对>0,6>0，对z,z。∈A,只要00，当n>N,时，对V,属于同一个矩形时，都有 a b 3-<6 (0) 随着该矩形的分割，闭区域A也被分割且每一个小区域都含在某一个小矩形（对同一个n) 中，由（仙）知，当n充分大时，对2,22属于A的同一个区域都有31-22<6。 设在以上分割的第N。+1步，A被分割为C的内长方形C,C2,C3,CM及以C的一 部分做部分周界的不规则区域D,D2,DDx。 于是：Lek-之.ek+空，fak,其中每一个国道都延正向 任取长方形Cm且任取z,z。eCm,有： f(=)=f(z)+(z-z)f(z)+Q(z)Q(z)-z f(d:=fIf()+(-2)f+(=fQ()d 2%,b'=、b 由于在第N。+1次分制后各小矩形边长为：4= ,不妨设ds6,则： ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 329 2-≤a2+bsV2b'及Cn周长为2@+b)≤4b,从而 .fe4s到.啡-出s5a*4h=4动 对于不规则的区域Dn,它的周长不大于4b'+S(5n为C的在D。上的部分长)，同上有： S(--SQ(ad-s Zbs"(46+s) fe)≤4W2e∑(62+b)+V2be∑s.=82e∑b'+V2b'as82h'e+2h'1s (其中1为C的周长) 由于b2,b7都是常数， 而[fe)边是常量， 所以由ε的任意性可得： 〔fed=0,fe)db=o, 于是f(z)满足条件(3)： (3)→(4)： 证明：设f(z)在区域D内满足条件（③），现任取z。∈D,则在z,的某邻域内f(z)可展成 幂级数，事实上： 以z为圆心，p为半径，在D内作圆C,设z为C内任一点。5为C上的变数，由 于f(z)满足柯西定理条件， 2g () 公 6- 1，，=1*0-2-)=（-” (5-X0--0)5-05-202g-)m (2) 5-20 2-<5-,从而， =二q"(0<q<1) (s-z0)"p 由M-判别法可知：级数(2)关于（一致收敛。 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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330 内蒙古农业大学学报 2011年 产a含9- (3) (2)关于5一致收敛，∴.(3)关于5一致收敛。 e1g4-8e-y…2g9k含ce-r c-装- n 0-20-y 即f(z)可展成幂级数。 (4)→(1) 证明：设z。为D内任一点，由条件(4)可知： fa=∑C.e-r(其中C,=f) n () 设其收敛半径为R>0,由于幂级数()在2-z<R内一致收敛，而对 n,Cn(z-zo)”可微，由幂级数性质可知：f(2)在2-zo<R内任一点导数存在 ∴f(z)在z。点导数存在，由z,的任意性可知f(z)在D内解析。 (1)→(2) 证明：任取zo∈D,由条件(I), f',)=imf)-f）存在 2-→80 2-z0 即 f(zo)=lim Ux》-U()+iY(x,月-V(x） 存在， x(x-xo)+i(y-yo)(x-xo)+i(y-yo) 令y=r→x则f)0+i Oxo Oxo ∠=0。+Vx 令x=ky→则f)=0+i0-U。+i -+i yo Cyo 比较(I)、(2)两式可知：U(x,y),V(x,y)在(x。,y)点关于x,y的偏导数都存在，且 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 331 U。='。,U%=-' 由z。在D中任意性可知：对z=(x,y)∈D,都有 U.=',U,=-Vx 在区域D内任一点可微易知：U(x,y,V(x,y)在D内可微。 故∫(z)若满足条件(1)，则f(z)必满足条件(2)。 (2)→(1)： 证明：设f(z)=J(x,y)+iV(x,y),任取D。 U(x,y),V(x,y)在(x,yo)处可微， a=U6xy-U0k,.)=0Ar+aUA △x+ y+△(e->0,→0) 同理： AV=(x,y)-V(x,) aAr+a 4y+7△z7-→0，△2→0) 由C-R方程得： f(2+)-f(2o)=AU+i4y= auav (△x+iy)+n△z 其中7'=8+i7(△z-→0)。 :▣@f存在且f代)-品+ aU.av -+i △z ·.f(z)满足条件(I)。 上面给出了解析函数的等价定义及其证明，下面给出它的性质的应用。 2解析函数的应用 代数基本定理是高等代数中一个重要定理，由于它的纯代数方法的证明很复杂，因此， 一般的高等代数的教材中都没有给出证明。但从复变函数论的教材中，大多数教材是利用 Liouville定理和Rouche定理来证明，本文利用解析函数的性质，得到几种新的定理证明， 首先给出代数基本定理：设Pn(z)=az”+a,z”+…+an为一个n次多项式，其中 a。≠0，n∈N,则Pn(z)在复平面C上至少存在一个零点。 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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332 内蒙古农业大学学报 2011年 证明1（反证法一应用最大模原理） 假如Pn()=a,z”+a,z1+…+an在复平面C上没有零点，即Pn(z)≠0，则 f-T 、在复平面C上解析，而且当=R并且R充分大时，就可得 Ra-I Rn2 从而在以=R且R充分大时，有/（②= 2 则由最大模原理有： P.(z)aoR" ma( SR 且我们可以得到： la,=P(0)= lao R" f0)2 其中已知a。≠0，这与R取充分大矛盾，即假设错误，定理得证。 证明2（反证法一应用Cauchy积分定理） 假设P.(e)=a,2”+a2+…+a,在复平面C上没有零点，则e)=Pg在C上 P(2) 解析，则由Cauchy积分定理知，对R>0, ∫rf(e)b=0,其中r={z4=R (1) 同时若设M=maxa,,则当R充分大时有： 0≤i≤n v-a5 HMR"- nM laoR"-nMR"T -a,R2 -nM 因tlimJ:/()=imk与)式不， 即假设错误，定理得证。 证明3（应用留数定理） 由于Pn(z)在复平面C上解析，设 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 333 m=inf P(z),zEC 则由Pn(z→+o(z→o)知，存在z。使P.(z。=m下证m=0,反证法，假设m>0,则 fa)=。在复平面C上解折，且 P(2) f()=maxf()= (1) n 设a,b为任意给定的复数，且R>0,a,b∈{zlan则有 P(0)<a (1) 而 e-l+品-+l合+a斗…哈 其中b=a/a。,i=1,…,n,取正数R,使得当z≥R时有： 从而在2=R上有： ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
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334 内蒙古农业大学学报 2011年 P.(e≥)l>a (2) 则由P(z)在D={z:≤R}上连续且不为常数，于是由(1)(2)可得，P(z)在D的内 部取得最小模m=iPn(z,从而由最小≤R模原理知，P(2)在D的内至少存在1 个零点。 综合上述4种方法，我们还可以进一步给出代数基本定理其它证明方法，从中充分体 现了解析函数的良好性质。 参考文献： ]钟玉泉复变函数论(M).高等教育出版社，2004. 2]邵毅解析函数的四个等价定义0).合肥联合大学学报，1999(1)：71-73. [B]陈继理代数基本定理证明).杭州师范学院学报，2004(3)：66-68. 4]周正中复变函数论(M).(南宁市)广西教育出版社，1990. [5]张延楚复变函数论指导书().湖南科学技术出版社，1983. 6]L.V.Ahlfors:"complex analysis"3ded:Mcgra whillbook company.Newyork,1979. ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
参 考 文 献: ［1］ 钟玉泉 复变函数论〔M〕． 高等教育出版社，2004． ［2］ 邵毅 解析函数的四个等价定义〔J〕． 合肥联合大学学报，1999( 1) : 71 － 73． ［3］ 陈继理 代数基本定理证明〔J〕． 杭州师范学院学报，2004( 3) : 66 － 68． ［4］ 周正中 复变函数论〔M〕． ( 南宁市) 广西教育出版社，1990． ［5］ 张延楚 复变函数论指导书〔M〕． 湖南科学技术出版社，1983． ［6］ L． V． Ahlfors: " complex analysis"3ded: Mcgra whillbook company． Newyork，1979． 334 内 蒙 古 农 业 大 学 学 报 2011 年