第卷12翔.isn.164-73.2m.紧猾 蒉州教育学院学报 Vol.13,No.2 2002年4月 JOURN AL OF GU IZHOU EDUCATION AL COLLEGE Apr.2002 解析函数特殊性质的应用 尹 忠 (中国长城铝业公司职工工学院河南郑州450041) 摘要：解析函数的特性是复变函数中最基本、最主要的内容，掌握解析函数的特性重在应用。本文从解析函数 的五个特性出发，逐一介绍各自的应用，掌握这些特性的应用，对学好复变函数大有益处 关键词：解析函数：特性；应用 中图分类号：0174.5 文献标识码：A文章编号：1002-6983(2002)02-0004-05 Application of the specific characteristics of the analytic function YIN Zhong (The College of Teachnology of the Great Wall Aluminium of China,Zhengzhou.Henan 450041.China) Abstract The feature of the analytic function is the most basic and important contents in the complex vari- able function.The focal point of mastering the characteristic of the analytic function is on its application.In this article,the int roduction on their applications is conducted one by one from their 5 features.Mastering these applications will help you to study the complex variable function well Keywords Analytic function,characteristics,application 解析函数是复变函数研究的主要内容，解析函数的特性是复变函数中最重要也是最基本的内容，本 文从解析函数的五个特性出发，给出了这五个特性的应用，其中特性1的应用是已知调和函数求解析函 数的方法，这里没有用教材中一般采用的繁难作法，而是论证出了一种新的解决此类问题的方法，并且 每一种方法的应用都用实例说明。 1解析函数的五个特殊性质 复变函数教材中，对解析函数的特殊性质一般介绍以下五条： 特性1解析函数∫(z)=u(x,yHiv(x,y)的实部u(x,y)和虚部是一对共轭调和函数 特性2解析函数∫(z)沿曲线C(C在使∫(z)解析的单连域内)的积分∫(z)dz与积分路径无关， 而只与被积函数∫(z)及积分路径的起点z8终点z1有关 1 有 f(z)d=f(z)=H(a)-H(zo) 其中H(z)是f(z)的一个原函数 特性3柯西一一古萨基本定理)解析函数(z)在单连域内的闭路积分恒为零 即 中fe)t=0 其中C是使∫：)解析的单连域内的简单闭曲线。 特性4柯西积分公式)解析函数f(z)的积分形式为 收稿日期：2001-12-21 1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
收稿日期: 2001- 12- 21 解析函数特殊性质的应用 尹 忠 (中国长城铝业公司职工工学院 河南 郑州 450041) 摘要: 解析函数的特性是复变函数中最基本、最主要的内容 ,掌握解析函数的特性重在应用。 本文从解析函数 的五个特性出发 ,逐一介绍各自的应用 ,掌握这些特性的应用 ,对学好复变函数大有益处。 关键词: 解析函数;特性 ;应用 中图分类号: O174. 5 文献标识码: A 文章编号: 1002- 6983( 2002) 02- 0004- 05 Application of the specific characteristics of the analytic function YIN Zho ng ( The Colleg e o f Teachno log y o f th e Gr ea t Wa ll Aluminium o f China , Zheng zho u, Henan 450041, China) Abstract: The fea ture o f the analytic functio n is the mo st basic and important co nte nts in the complex v ariable functio n. The focal point o f mastering the charac teristic of the analytic functio n is o n its application. In this a rticle, the int roductio n on their applica tio ns is conducted o ne by o ne from their 5 fea tures. Mastering these applicatio ns will help yo u to study the complex v ariable functio n w ell. Keywords: Analy tic function, chara cteristics, application 解析函数是复变函数研究的主要内容 ,解析函数的特性是复变函数中最重要也是最基本的内容 ,本 文从解析函数的五个特性出发 ,给出了这五个特性的应用 ,其中特性 1的应用是已知调和函数求解析函 数的方法 ,这里没有用教材中一般采用的繁难作法 ,而是论证出了一种新的解决此类问题的方法 ,并且 每一种方法的应用都用实例说明。 1 解析函数的五个特殊性质 复变函数教材中 ,对解析函数的特殊性质一般介绍以下五条: 特性 1 解析函数 f (z)= u( x , y )+ iv (x , y )的实部 u (x , y )和虚部是一对共轭调和函数。 特性 2 解析函数 f (z)沿曲线 C(C在使 f (z)解析的单连域内 )的积分∫c f ( z) dz 与积分路径无关 , 而只与被积函数 f (z)及积分路径的起点 z 0、终点 z 1 有关。 有 ∫c f (z )dz=∫ z 1 z 0 f (z) dz= H(z 1 ) - H(z 0 ) 其中 H(z )是 f (z )的一个原函数。 特性 3(柯西—— 古萨基本定理 ) 解析函数 f (z)在单连域内的闭路积分恒为零 即 ∮c f (z) dz= 0 其中 C是使 f (z )解析的单连域内的简单闭曲线。 特性 4(柯西积分公式 ) 解析函数 f (z)的积分形式为 第 13卷 第 2期 2 0 0 2年 4月 贵 州 教 育 学 院 学 报 JOURN AL OF GU IZHOU EDUCAT ION AL COLLE GE Vol. 13, No . 2 Apr. 2002 DOI: 10. 13391 /j . cnki . issn. 1674 -7798. 2002. 02. 002
第2期 尹忠：解析函数特殊性质的应用 。5 fda f(2)=2ci. 其中C是使∫（亿）解析的单连域内包围z的简单闭曲线 特性5（任意阶导数公式）解析函数∫(z)的导函数仍是解析函数且任意阶导数公式为 "e)=是手，=1.2 其中C是使∫（亿）解析的单连域内包围z的简单闭曲线 2特殊性质的应用 L特性1的应用一一求解析函数的简单方法 (1)问题的提出 由特性1可知，如果已知一个调和函数u(x,y),我们就可以求得它的共轭调和函数v(x,y),从而 构成一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y以同理，如果已知一个调和函数v(x,y),我们也可以求出它 的共轭调和函数u(x,y),构成一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)对于这一类问题，教材上一般都 是用柯西一一黎曼(Cauchy-Riemann)方程（以下称C-R方程）去求解，但步骤较多且繁难下面通过 严格的理论证明，给出一种解决此类问题的新的简单的方法 (2)问题的论证 命题1设(x,y)为单连域D内的调和函数，则存在 vx,y)=Jw-号+d4C (1) 使得f亿)=叶iv为D内的解析函数 证明由于u(x,y)为调和函数，则u(x,y)在D内具有二阶连续偏导数，且 +=0 令 户-号，g贵则RQ在D内只有一阶连续偏导数 又由于聚+导=0得=杂 根据高等数学中二元透数的全微分求积定理知：P+Q=-号d+受少 是某个函数不纺设为(x,)的全微分.即山仁，=-景+是山 两端积分得 wn。}毫a+C 其中(x0,o)是D内的定点，(x,y)是D内的动点，C为任意常数，且积分与路径无关 将(1试分别对，少求偏导得受--，景=受 满足C-R方程，由函数解析的充要条件知，∫(z)=+v为一解析函数。 证毕 类似地，有结论：若v(x,y)为单连域D内的调和函数，则存在 n景d-景rc (2) 使得f(z)=u+v为解析函数特别地，当D内包含原点时，(xo,o)可取为(0,0) 命题2若f(z)=u(x,y)+iv(x,y为解析函数，则它一定能单独用z来表示 证明把x=之(+，=方e-z)代入f仁冲，则fe)可看成是两个变量z,2的函数，由偏导 数的锁链法则，得 由C-R方程知，上式括号中的值为0，从而 af(=0 ?1994-2017 China Academic Journal Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
f (z)= 1 2ci∮c f (a) a- z da 其中 C是使 f (z )解析的单连域内包围 z 的简单闭曲线。 特性 5(任意阶导数公式 ) 解析函数 f (z)的导函数仍是解析函数且任意阶导数公式为 f (n ) (z )= n! 2ci∮c f (a) (a- z) n+ 1 da, n= 1, 2,… 其中 C是使 f (z )解析的单连域内包围 z 的简单闭曲线。 2 特殊性质的应用 1.特性 1的应用—— 求解析函数的简单方法 ( 1)问题的提出 由特性 1可知 ,如果已知一个调和函数 u (x , y ) ,我们就可以求得它的共轭调和函数 v ( x , y ) ,从而 构成一个解析函数 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )。同理 ,如果已知一个调和函数 v (x , y ) ,我们也可以求出它 的共轭调和函数 u (x , y ) ,构成一个解析函数 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )。对于这一类问题 ,教材上一般都 是用柯西—— 黎曼 ( Cauchy- Riemann)方程 (以下称 C- R方程 )去求解 ,但步骤较多且繁难。下面通过 严格的理论证明 ,给出一种解决此类问题的新的简单的方法。 ( 2)问题的论证 命题 1 设 u (x , y )为单连域 D内的调和函数 ,则存在 v (x , y )=∫ ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) - u y dx+ u x dy+ C ( 1) 使得 f (z )= u+ iv 为 D内的解析函数。 证明 由于 u ( x , y )为调和函数 ,则 u ( x , y )在 D内具有二阶连续偏导数 ,且 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0 令 P= - u y , Q= u x ,则 P、 Q在 D内只有一阶连续偏导数。 又由于 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0, 得 P y = Q x 根据高等数学中二元函数的全微分求积定理知: P dx+ Qdy= - u y dx+ u x dy 是某个函数 (不妨设为 v ( x , y ) )的全微分 ,即 dv (x , y )= - u y dx+ u x dy 两端积分得 v ( x , y )=∫ ( x , y) ( x 0 ,y 0 ) - u y dx+ u x dy+ C 其中 (x 0 , y0 )是 D内的定点 , (x , y )是 D内的动点 ,C为任意常数 ,且积分与路径无关。 将 ( 1)式分别对 x , y 求偏导 ,得 v x = - u y , v y = u x 满足 C- R方程 ,由函数解析的充要条件知 , f (z)= u+ iv 为一解析函数。 证毕 类似地 ,有结论: 若 v ( x , y )为单连域 D内的调和函数 ,则存在 u( x , y )=∫ ( x , y) ( x 0 ,y 0 ) v y dx- v x dy+ C ( 2) 使得 f (z )= u+ iv 为解析函数。 特别地 ,当 D内包含原点时 , (x 0 , y0 )可取为 ( 0, 0)。 命题 2 若 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )为解析函数 ,则它一定能单独用 z 来表示。 证明 把 x= 1 2 (z+ z) , y= 1 2i (z - z)代入 f (z )中 ,则 f (z)可看成是两个变量 z,z 的函数 ,由偏导 数的锁链法则 ,得 f (z) z = u x · x z + u y · y z + i v x · x z + v y · y z = 1 2 u x - v y + 1 2 v x + u y i 由 C- R方程知 ,上式括号中的值为 0,从而 f (z) z = 0 第 2期 尹 忠: 解析函数特殊性质的应用 · 5·
。6 贵州教育学院学报 第13卷 故f(z)可单独用z来表示。 证毕 由命题【命题2可以得到，已知一个调和函数怎样去求解析函数，并且解析函数可以单独用z来 表示，但在实际运算中，∫(z)=Him中的u(x,y以v(x,y都是关于x,y的函数，化为f(z)=f(x+y) 的形式比较复杂，我们可以采用如下方法 如果∫(z)=tv的解析区域包含z平面中的实轴(x轴的一段，我们可以用x=z,y=0代入∫ (z)的关于x,y的方程，即可把f(z)化为关于z的函数。 同理，如果f(z)=hv的解析区域包含z平面中虚轴(y轴)的一段，我们可以用x=0,y=-z代 入(z)的关于x,y的方程，即可把f(z)化为关于z的函数 (3)问题的结论 综上所述，可以用如下方法解决己知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数∫(z)=Hv的问 题 第一步：若已知ux,),求v(x,y),可套用(x,y)o 「(x） -uy dx+ux dy+C (x,) 若己知，川求u,阿套用(x,y）月，。d-+C 于是得到所求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)+C 第二步：先把∫(z)表示成z的函数，再把特定条件代入就可以确定出常数C从而求出满足条件的 解析函数 例1设u=y3-3x2y是调和函数，求解析函数f(z)=hiv满足f(0)=0. 解ux=-6ry,u=3y2-3x2 则 v(x)=C=(()d-yd C= J(0.0 红，0 红 ((dr-6xyd()dx-yd C= J。3x'd+J。-6gyd4C=x3-3xy+C 所以f(z)=y3-3x3+i(x3-3xy4C) 令x=z,y=0,得f(z)=i(z+C),当z=0时，f(z)=i(0+C)=0,得C=0 故所求解析函数为f(z)=立3. 2特性2的应用 特性2指出，若∫(z)在包含非闭积分路径C的单连域内解析，只要求出∫(z)的原函数H(z),它的 积分值就等于H(z1)-H(z)但要注意f(z)在单连域B内解析这个条件否则这个结论不成立 例2设C是单位圆上从点1逆时针到点i的弧段求积分z“止(n是整数) 解1)当n=0,1,2,…时，2”在复平面内处处解析。积分2也只与c的起点1终点i有关，而与积 分路径无关根器特性2得∫t=∫：=体十 2)当n=-1,-2,-3,…时，z”在z=0处不解析沿路径c的积分，不能随意地用其它路径来代 替，只能按题设路径计算 设C的参数方程为z=E,任长 c 2i,=-1 时.小n=-2-3 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
故 f (z)可单独用 z 来表示。 证毕 由命题 1、命题 2可以得到 ,已知一个调和函数怎样去求解析函数 ,并且解析函数可以单独用 z 来 表示 ,但在实际运算中 , f (z)= u+ iv中的 u ( x , y )、v (x , y )都是关于 x , y的函数 ,化为 f (z )= f (x+ iy ) 的形式比较复杂 ,我们可以采用如下方法。 如果 f (z)= u+ iv 的解析区域包含 z 平面中的实轴 (x 轴 )的一段 ,我们可以用 x= z, y= 0代入 f (z)的关于 x , y 的方程 ,即可把 f (z )化为关于 z 的函数。 同理 ,如果 f (z )= u+ iv 的解析区域包含 z 平面中虚轴 ( y轴 )的一段 ,我们可以用 x= 0, y= - iz 代 入 f (z)的关于 x , y的方程 ,即可把 f (z )化为关于 z 的函数。 ( 3)问题的结论 综上所述 ,可以用如下方法解决已知一个调和函数 ,求满足特定条件的解析函数 f (z )= u+ iv的问 题。 第一步: 若已知 u (x , y ) ,求 v ( x , y ) ,可套用 v ( x , y )=∫ ( x ,y ) ( x 0 ,y 0 ) - uy dx+ ux dy+ C 若已知 v (x , y ) ,求 u (x , y )可套用 u( x , y )=∫ ( x , y) ( x 0 ,y 0 ) vy dx- vx dy+ C 于是得到所求解析函数 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )+ C. 第二步: 先把 f (z)表示成 z 的函数 ,再把特定条件代入就可以确定出常数 C。从而求出满足条件的 解析函数。 例 1 设 u= y 3 - 3x 2 y是调和函数 ,求解析函数 f (z )= u+ iv 满足 f ( 0)= 0. 解 ux= - 6x y , uy= 3y 2 - 3x 2 则 v ( x , y )=∫ (x , y) ( 0, 0) - uy dx+ ux dy+ C=∫ (x , y) ( 0, 0) ( 3x 2 - 3y 2 )dx - 6x y dy+ C= ∫ (x , 0) ( 0, 0) ( 3x 2 - 3y 2 ) dx - 6x ydy+∫ (x , y) (x , 0) ( 3x 2 - 3y 2 )dx- 6x y dy+ C= ∫ x 0 3x 2 dx+∫ y 0 - 6xy dy+ C= x 3 - 3xy 2 + C 所以 f (z)= y 3 - 3x 2 y+ i(x 3 - 3x y 2 + C ) 令 x= z, y= 0,得 f (z)= i(z 3 + C ) , 当 z= 0时 , f (z )= i( 0 3 + C)= 0,得 C= 0 故所求解析函数为 f (z )= iz 3 . 2.特性 2的应用 特性 2指出 ,若 f (z)在包含非闭积分路径 C的单连域内解析 ,只要求出 f (z)的原函数 H(z) ,它的 积分值就等于 H(z 1 ) - H(z 0 )。 但要注意 f (z )在单连域 B 内解析这个条件。 否则这个结论不成立。 例 2 设 C是单位圆上从点 1逆时针到点 i的弧段。 求积分∫c z n dz (n是整数 )。 解 1)当 n= 0, 1, 2,…时 ,z n 在复平面内处处解析。积分∫c z n dz 只与 c的起点 1、终点 i有关 ,而与积 分路径无关 ,根据特性 2得 ∫c z n dz=∫ i 1 z n dz= i n+ 1 - 1 n+ 1 . 2)当 n= - 1, - 2, - 3,…时 , z n 在 z= 0处不解析。 沿路径 c的积分 ,不能随意地用其它路径来代 替 ,只能按题设路径计算。 设 C 的参数方程为 z= e iθ , 0≤θ≤ c 2 则 ∫c z n dz=∫ c 2 0 e inθ ie iθ dθ= ∫i c 2 0 e in+ 1)θ dθ= c 2 i, n= - 1 1 n+ 1 [e i(n+ 1) c 2 - 1], n= - 2, - 3,… · 6· 贵州教育学院学报 第 13卷
第2期 尹忠：解析函数特殊性质的应用 。70 t1-1 m1,=0,1,2.… 综合1)，2)得 "dz= 2,n=-1 e听-1小.作-2-3 3.特性3（柯西一一古萨基本定理）的应用 由特性3可知，如果函数∫(z)在单连域B内处处解析那么函数∫(2)沿B内的任何一条封闭曲线 C的积分为零 例3求积分，三中的值，其中C为正向圆周|=1 解因为∫(z)只有一个奇点z=2,而z=2在|z=1外部，所以f(z)在z=1内解析。根据特性3 得中也」 J:z-20. 4特性4柯西积分公式)的应用 由特性4知，如果f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完 全含于D,z0为C内的任一点，那末 fe=5.,或$也=2时e 由上式可以看出，当F2)=在解的区域D内有一个奇点20为单极点，且z0含于积分路径C Z-Z0 内时，小F(2)止的值为29f(zo) 例4求积分中，亚止，其中C为正向圆周=4 解因为Fe)=亚在z=4纳有一个一级极点2=2=0，所以可以用特性4来求解 中si严dz=29 sin:=o=2STc0 5.特性5（任意阶导数公式）的应用 由特性5可知，解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 fz=28e-20°Td止，(n=1,2） f(z) 其中C为在函数∫(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全部含于D f(z)的任意阶导数公式还可以变形为 Φf(z) 2G 9:e-0Tt=定f(eo). f(z) 上式可以解决当z=20为F(2)=2-20T的肚1级极点时，F(2)沿简单闭曲线C的积分 例5求中巴齐也，其中C为正向圆周：1：PL 解 由于2=1是m气的5级极点，且z=1在1=乃1内，所以由特性5得 (z-1) $齐也=2r(ee91- 6.特性345的综合应用 由以上讨论可以看出，当被积函数f(z)在C上及C内解析时，求f(z)沿C的积分用特性3，有一 个一级极点特性4，有一个n级极点用特性5一般情况下是这3个特性的综合运用 例6求闭路积分中zedz,C是单位圆z=1正向一周，n为整数。 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
综合 1) , 2)得 ∫c z n dz= i n+ 1 - 1 n+ 1 , n= 0, 1, 2,… c 2 i, n= - 1 1 n+ 1 [e i( n+ 1) c 2 - 1], n= - 2,- 3,… 3.特性 3(柯西—— 古萨基本定理 )的应用 由特性 3可知 ,如果函数 f (z )在单连域 B 内处处解析 ,那么函数 f (z )沿 B内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零。 例 3 求积分∮c dz z - 2的值 ,其中 C 为正向圆周|z|= 1. 解 因为 f (z)只有一个奇点 z= 2,而 z= 2在|z|= 1外部 ,所以 f (z)在|z|= 1内解析。根据特性 3 得 ∮c dz z - 2 = 0. 4.特性 4(柯西积分公式 )的应用 由特性 4知 ,如果 f (z)在区域 D内处处解析 ,C 为 D内的任何一条正向简单闭曲线 ,它的内部完 全含于 D,z 0 为 C内的任一点 ,那末 f (z 0 )= 1 2ci∮c f (z) z - z 0 dz , 或 ∮c f (z ) z - z 0 dz= 2cif (z 0 ) 由上式可以看出 ,当 F (z)= f (z ) z - z 0 在解的区域 D内有一个奇点 z 0 为单极点 ,且 z 0含于积分路径 C 内时 ,∮c F (z ) dz 的值为 2cif (z 0 ). 例 4 求积分∮c sinz z dz ,其中 C为正向圆周|z|= 4. 解 因为 F(z )= sinz z 在|z|= 4内有一个一级极点 z= z 0= 0,所以可以用特性 4来求解。 ∮c sinz z dz= 2cisinz|z= 0= 2ci· 0= 0. 5.特性 5(任意阶导数公式 )的应用 由特性 5可知 ,解析函数的导数仍为解析函数 ,它的 n 阶导数为 f (n ) z 0= n! 2ci∮c f (z ) (z - z 0 ) n+ 1 dz, (n= 1, 2,… ) 其中 C为在函数 f (z )的解析区域 D内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线 ,而且它的内部全部含于 D。 f (z)的任意阶导数公式还可以变形为 ∮c f (z) (z - z 0 ) n+ 1 dz= 2ci n! f (n ) (z 0 ) . 上式可以解决当 z= z 0 为 F (z)= f (z) (z - z 0 ) n+ 1 的 n+ 1级极点时 , F (z)沿简单闭曲线 C的积分。 例 5 求∮c co scz (z - 1) 5 dz,其中 C为正向圆周: |z|= r> 1. 解 由于 z= 1是 co scz (z - 1) 5 的 5级极点 ,且 z= 1在|z|= r> 1内 ,所以由特性 5得 ∮c coscz (z - 1) 5 dz= 2ci ( 5- 1)! ( coscz) ( 4)|z= 1= - c5 12 i. 6.特性 3、 4、 5的综合应用 由以上讨论可以看出 ,当被积函数 f (z )在 C 上及 C内解析时 ,求 f ( z)沿 C 的积分用特性 3,有一 个一级极点特性 4,有一个 n 级极点用特性 5。 一般情况下是这 3个特性的综合运用。 例 6 求闭路积分∮c z n e - z dz,C 是单位圆|z|= 1正向一周 , n 为整数。 第 2期 尹 忠: 解析函数特殊性质的应用 · 7·
1111 。8 贵州教育学院学报 第13卷 解1)当n=0,1,2,3,…时，2”e在复平面上处处解析。根据特性3得 中edb=0 2)当n=-1,-2,-3,…时，z”e在z=0点不解析，令n=-k,由特性4特性5，得 5t$=2e 29i,k=1 29(-1)-1 (k-,k=23,4…= 29i,=-1 (-11 (-n-1g=-2,-3,-4… 0,n=0,1,2,… 由1)，2)可得 29,n=-1 101 (-n-g29,n=-2-3,-4 例7分别按下列闭路： 1)C|z=上2)C|z-2i=1的正向求积分 解被积函数z-2D(+2司 有三个孤立奇点：z=0是二级极点，z=2和z=-2i是一级极点 1)在c|z=1内仅包含奇点z=0,将被积函数改写为 +2 z+2= 分子在单位圆内及圆上处处解析根据任意阶号数公式（特性），得 2)在C|z-2=1内仅包含孤立奇点z=2i,被积函数改写为 242z=242 z-2i 分子2+2 一在圆引z-2=1上及其内部处处解析，根据柯西积分公式（特性4），得 e $.z=$.12也-292列 e —l=T=-2ceT 4 值得注意的是：在特性25的应用中，都是被积函数∫(z)在包围积分路线C的单连域内解析或有 一个奇点的情况下进行积分的若被积函数f(z)在某个区域内不解析时，是不能用特性25去积分 的，如例2中的第二种情形，只能用积分路径C(不管是非闭曲线或简单闭曲)的参数方程把复变函数∫ (z)沿C的积分，化为对实变量的定积分去求解 本文除了特性1的应用是由己知调和函数求解析函数外，其余4个特性的应用都是求解析函数积 分的这实际上也是研究解析函数的积分方法（复变函数的积分方法还有利用留数定理等），掌握了解析 函数特性的应用，不仅掌握了怎样由调和函数求解析函数，而且还学会了复变函数积分方法 参考文献 [1西安交通大学高等数学教研室编复变函数第三版[M].北京：高等教有出版社出版，1992 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
解 1)当 n= 0, 1, 2, 3,…时 ,z n e - x在复平面上处处解析。 根据特性 3得 ∮c z n e - z dz= 0 2)当 n= - 1, - 2, - 3,…时 ,z n e - z在 z= 0点不解析 ,令 n= - k ,由特性 4、特性 5,得 ∮c z n e - z dz=∮c e - z z k dz= 2ci (k- 1)! (e - z ) (k- 1)|z= 0= 2ci, k= 1 2ci( - 1) k- 1 (k- 1)! , k= 2, 3, 4,… = 2ci, n= - 1 ( - 1) - n- 1 ( - n - 1)! , n= - 2, - 3, - 4,… 由 1) , 2)可得 ∮c z n e - z dz= 0, n= 0, 1, 2,… 2ci, n= - 1 (- 1) - n- 1 ( - n- 1)! 2ci, n= - 2, - 3, - 4,… 例 7 分别按下列闭路: 1)C: |z|= 1; 2)C: |z - 2 i|= 1的正向求积分 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz. 解 被积函数 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 (z - 2 i) (z+ 2 i) 有三个孤立奇点: z= 0是二级极点 ,z= 2 i和 z= - 2 i是一级极点。 1)在 C: |z|= 1内仅包含奇点 z = 0,将被积函数改写为 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 + 2 z 2 分子 e z z 2 + 2 在单位圆内及圆上处处解析 ,根据任意阶导数公式 (特性 5) ,得 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz=∮c e z z 2 + 2 z 2 = 2ci e z z 2 + 2 |z= 0= ci 2)在 C: |z - 2 i|= 1内仅包含孤立奇点 z= 2 i,被积函数改写为 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 (z+ 2 i) z - 2 i 分子 e z z 2 (z+ 2 i) 在圆|z - 2 i|= 1上及其内部处处解析 ,根据柯西积分公式 (特性 4) ,得 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz=∮c e z z 2 + (z+ 2 i) z - 2 i dz= 2ci e z z 2 (z+ 2 i) |z= 2 i= - 2 4 ce 2 i . 值得注意的是: 在特性 2— 5的应用中 ,都是被积函数 f (z )在包围积分路线 C 的单连域内解析或有 一个奇点的情况下进行积分的。 若被积函数 f (z)在某个区域内不解析时 ,是不能用特性 2— 5去积分 的 ,如例 2中的第二种情形 ,只能用积分路径 C (不管是非闭曲线或简单闭曲 )的参数方程把复变函数 f (z)沿 C的积分 ,化为对实变量的定积分去求解。 本文除了特性 1的应用是由已知调和函数求解析函数外 ,其余 4个特性的应用都是求解析函数积 分的 ,这实际上也是研究解析函数的积分方法 (复变函数的积分方法还有利用留数定理等 )。掌握了解析 函数特性的应用 ,不仅掌握了怎样由调和函数求解析函数 ,而且还学会了复变函数积分方法。 参 考 文 献 [1 ]西安交通大学高等数学教研室编 .复变函数第三版 [M ].北京: 高等教育出版社出版 , 1992. · 8· 贵州教育学院学报 第 13卷
