第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第三章中值定理与导数的爱用 一、基本定理与公式 二、洛必达法则 基本内容 三、利用导数讨论函数的性质 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 习题讲解 北京邮电大学出版社
1 一、基本定理与公式 二、洛必达法则 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 基本内容 习题讲解 第三章 中值定理与导数的应用 三、利用导数讨论函数的性质
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 基本定理与公式 1、Rolle定理 f(a)=f(b),则归5∈(a,b),使f'(5)=0 2、Lagrange定理f(b)-f(a)=f'(ξb-) 3、Cauchy定理 f(b)-f(a)_f) F(B-F(a)F 4、Imor定理f=,)+f代，-++(，-P+R,( Lagrange余项 R国=n+pG6-广-an6+9e-X-广 5、Maclaurin公式 f=fo+fo0e+…+0fook+a+nfa" 北京邮电大学出版社 2
2 一、基本定理与公式 1、Rolle 定理 f (a) = f (b), 则 (a,b)，使 f ( ) = 0 2、Lagrange 定理 f (b)− f (a) = f ( )(b− a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − 3、Cauchy 定理 ( ) ( )( ) ( 1)! 1 ( ) 1 0 +1 + − + = n n n f x x n R x ( ) ( ( ))( ) ( 1)! 1 1 0 0 0 +1 + + − − + = n n f x x x x x n Lagrange 余项 4、Taylor定理 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ! 1 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x n n n = + − ++ − + 5、Maclaurin 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1)! 1 0 ! 1 0 0 + + + = + + + + n n n n f x x n f x n f x f f x
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 二、洛必达法则 m得m周 0 00 0.0、00-0、0°、10、00 0 00 三、利用导数讨论函数的性质 1、一阶导数讨论函数的单调性与极值； 2、二阶导数讨论函数的凹凸性与拐点； 3、水平渐进线、铅直渐进线； 4、作图. 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 北京邮电大学出版社
3 三、利用导数讨论函数的性质 1、一阶导数讨论函数的单调性与极值; 2、二阶导数讨论函数的凹凸性与拐点; 3、水平渐进线、铅直渐进线; 4、作图. 二、洛必达法则 ( ) ( ) ( ) F (x) f x F x f x lim = lim 0 0 0 0 1 0 0 − 、 、 、 、 四、最大最小值问题 五、方程的近似解
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 习题讲解 1、设imf'(x)=k,求imLf(x+)-f(x)川=？ X)00 解不妨假设心0，显然fx)在x,x+叫上连续，在c,+)内可导， 由拉格郎日中值定理，有 f(x+a)-f(x)=f'(5)a 5在x与x+之间 显然，当x→0时，5→0 ∴limf(x+a)-f(xl=limf'(5)a=alimf'(ξ)=ak E>00 2、证明多项式f(x)=x3-3x+M在[0,1川上不可能有两个零点. 解f'(x)=3x2-3<0,∈(0,1).f(x)在0,1川上单减， 所以f(x)在0,1上不可能有两个零点. 北京邮电大学出版社
4 解 显然f (x)在[x，x+a]上连续，在(x，x+a)内可导, f (x + a) − f (x) = f ( )a f x a f x f a a f ( ) ak x x + − = = = → → → lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim 由拉格郎日中值定理，有 在x与x + a之间 显然，当 x → 时， → 1、设 lim f (x) k, x = → lim[ ( + ) − ( )] = ? → f x a f x x 求 习题讲解 2、证明多项式 f (x) = x − 3x + a 在[0,1]上不可能有两个零点. 3 解 ( ) 3 3 2 f x = x − 0, x (0,1). f ( x) 在[0,1]上单减， 所以 f (x) 在[0,1]上不可能有两个零点. 不妨假设a>0
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 3设a,+号++1=，证晓项式 4+4x+…+an-1x"+anx"在区间0,1内至少有一个零点 证设p()=a++++r ∴p'(x)=ao+ax+…+am-1x"-1+anx” 且p(o)=p(1)=0 ∴(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件， 则35∈(0,1)使得 p'()=0+41x+…+am-1x"-1+anx"=0 北京邮电大学出版社 5
5 3、 设 0，证明 2 1 1 0 = + + + + n a a a n 多项式 (0,1) . 1 a0 + a1 x ++ an−1 x n− + an x n 在区间 内至少有一个零点 证 ( ) 1 2 1 1 0 2 1 − + + = + + + + n n n n x n a x n a x a 设 x a x n n n x = a + a x + + an x + a x − − 1 0 1 1 ( ) (x) 在 0,1 上满足罗尔定理的条件， 则 (0,1), 使得 ( ) 0 1 = 0 + 1 + + 1 + = − − n n n x a a x an x a x 且 (0) =(1) = 0
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 4、fa)=0→5∈0，a),f(5)+5f'(5)=0 证令Fw)=xfe)→F(x)=f(x)+yf"(x) →F(0)=F(a)=0→35∈(0，a),F'(5)=0 b a<b→5，fb)-f(@=5f'( 由于所求证式子可改写为()-f()_f'(5) Inb-In a ξ 证设F(x)=lnx,应用Cauchy定理即得证. 北京邮电大学出版社 6
6 4、 f (a) = 0 (0,a), f ( )+ f ( ) = 0 证 令 F(x) =x f(x) = = F F a (0) ( ) 0 = (0, ), 0 a F( ) F(x) = f (x)+ xf (x) 5、 0 a b a b , f (b) − f (a) = f ( )ln 由于所求证式子可改写为： ( ) ( ) ( ) ln ln 1 f b f a f b a − = − 证 设 F(x) = ln x, 应用Cauchy定理即得证
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 6、|f'(x)长g'(x),x>M→f(x)-f()g(x)-g() 证由f'(x)Kg'(x)知：g'(x)>0→g(x)>g() 对于f(x),g(x)在a,x]上应用Cauchy中值定理得 f(x)-f()_f'(5) g(x)-g(@)g'(5) (5∈(a,x) |f(x)-f(a)|f(x)-f(a) _1f'(5)川=1f'(5)川<1 g(x)-g(a)g(x)-g(a)|g'(5)川 8'(5) 北京邮电大学出版社 7
7 6 、 | ( ) | ( ), | ( ) ( ) | ( ) ( ) f x g x x a f x f a g x g a − − 证 对于f (x)，g(x)在a, x上应用Cauchy中值定理得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gf g x g a f x f a = −− 由| f (x)| g(x)知： g(x) 0 g(x) g(a) ( (a, x)) 1 ( ) | ( )| | ( )| | ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )| = = −− = −− gf gf g x g a f x f a g x g a f x f a
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 不-{28的楼微 解：f(0-0)=lim(c+2)=2f0+0)=1imx2=lime2la x0+ 2In x 而im2xlnx=lim lim x=0.f0+0)=e°=1 x→0+ x->0+ 1 x→0 1/ X 所以x=0是跳跃间断点，f'(O)不存在 当x>0时，y=x2x→lny=2xnx r=2n+2=y=2x0+n 当<m,y-1=2+D8 x<0 北京邮电大学出版社 8
8 7、 . 0 0 2 ( ) 2 求 的极值 + = x x x x f x x 解 (0 0) lim ( 2) 2 0 − = + = → − f x x x x x x x f x e 2 ln 0 2 0 (0 0) lim → + lim → + + = = 所以x = 0 是跳跃间断点， 0 1 2 lim 1 2ln lim 2 ln lim 2 0 0 0 = − = = → + → + → + x x x x x x x x x 而 (0 0) 1 0 f + = e = f (0)不存在. 当x 0时, y x y x x x ln 2 ln 2 = = 当x 0时, y = 1 y x y x ( x) y x 2ln 2 2 1 ln 1 2 = + = + + = 0 0 1 2 (ln 1) ( ) 2 x x x x f x x
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 令f'(x)=0有2x2(1+lnx)=0,得x= 1 当00 a(归=e 又当0,f(x)单增， f(x)<f0-0)=2 X 当0<x<二时，'(x)<0,f(x)单减， ∴f(x)<f0+0)=1 所以当-0<x<时，有f(x)<f0)=2,f极大(0)=2 3 北京邮电大学出版社 9
9 令f (x) = 0 ( ) 0 1 0 f x e 当 x 时， ( ) 0 1 x + f x e 当 时， e e e f 2 ) 1 ( − 极小 = 又当x 0时, y = 1 0, f (x)单增， f (x) f (0− 0) = 2 f (x) f (0+ 0) = 1 ( ) 0, ( ) , 1 当0 时，f x f x 单减 e x , ( ) (0) 2, 1 − f x f = e 所以当 x 时 有 f 极大(0) = 2 ( ) e x x x x 1 2 1 ln 0, 2 有 + = 得 = 1 2 e 1 x y O
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 8、求x2-y+y2=3上纵坐标的最大（小)的点. 解两边对x求导数，有 2x-y-'+2y'=0→y=2x-y x-2y 由y'=0,得y=2x代入x2-y+y2=3,得x=±1； 又当2y-x=0时，y'=∞， 把x=2y代入x2-y+y2=3,得x=士2；y=±1 y(1)=-2,y()=2,(2)=-1,y(2)=1 ∴.纵坐标最大点1,2)最小点是-1，-2) 北京邮电大学出版社 010
10 8、 3 2 2 求x − xy + y = 上纵坐标的最大（小）的点. 解 2x − y − xy + 2 yy = 0 x y x y y 2 2 − − = 由y = 0, 得 y = 2x 代入x 2 − xy + y 2 = 3，得x = 1； 纵坐标最大点是(1,2)， 最小点是(−1,−2) 两边对x 求导数，有 又当2y − x = 0时，y = ， 2 3 2 1 2 2 把x = y代入x − xy + y = ，得x = ；y = y(−1) = −2, y(1) = 2, y(− 2) = −1, y(2) = 1
