第一章 函数与极限 高等数学少学时 第七节品数的连续性 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质 北京邮电大学出版社
1 第七节 函数的连续性 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质
第一章函数与极限 高等数学少学时 一、函数连续性的概念 定义1设函数fx)在x的某一邻域内有定义，如果 imf(c)=f力 则称函数fx)在x连续， 例1设函数f)= xsin二，当x≠0， 问a为何值时，f(x)在 当x=0 x=0点连续. 解因为f0)=a且imf(x)=limxsin上=0，所以当=0时， r->0 函数f(x)在x=0点连续. 北京邮电大学出版社 2
2 一、函数连续性的概念 定义1 设函数f (x)在x0的某一邻域内有定义，如果 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → 则称函数f (x)在x0连续. 例1 设函数 ( ) , , 0 , 0, 1 sin = = a x x x x f x 当 当 x=0点连续. 问a为何值时，f (x)在 解 因为f (0)=a,且 f (x) x 0 lim → 0, 1 lim sin 0 = = → x x x 所以当a=0时， 函数f (x)在x=0点连续
第一章 函数与极限 高等数学少学时 定义2如果imf(x)=f(x)则称函数fx)在点x,左连续； x→x 如果Iimf(x)=f(x),则称函数f)在点x右连续， →x 如果f(x)在(4，b)内每一点都连续则称(x)在(，b)内连续 如果(x)在(a,b)内连续且在α点右连续在b点左连续则称 f(x)在[a,b]上连续如果f(x)在定义域内连续则称f(x)为连 续函数连续函数的图形是一条连续不断的曲线. 由第五节我们知道，多项式、有理分式在其定义域内都是 连续函数. 北京邮电大学出版社
3 定义2 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = 如 果 → − 则称函数f (x)在点x0左连续； lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = 如 果 → + 则称函数f (x)在点x0右连续. 如果f (x)在(a,b)内每一点都连续,则称f (x)在(a,b)内连续. 如果f (x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b 点左连续,则称 如果 f (x)在定义域内连续,则称f (x)为连 续函数.连续函数的图形是一条连续不断的曲线. f (x)在[a,b]上连续. 由第五节我们知道，多项式、有理分式在其定义域内都是 连续函数
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例2讨论函数f)=x在(-oo,+oo)内的连续性 -x,当x0 i()-im)=0-f(o)imf()im0f(0) 故mf(x)=fO以即fx)在x=0点的连续。 所以fx)=在(-o0,+o)内处处连续， 注f(x)在x点连续台f(x)在x点既左连续又右连续，即 lim f(x)=f()fx,)=f(x*)=f(x) x->xo 北京邮电大学出版社
4 例2 讨论函数f (x)=|x|在(-∞,+∞)内的连续性. 解 ( ) = − = , 0 0, 0, , 0, x x x x x f x 当 当 当 显然在(-∞,0)和(0，+∞)内的连续.而 lim ( ) lim ( ) 0 (0), 0 0 f x x f x x = − = = → − → − lim ( ) lim 0 (0), 0 0 f x x f x x = = = → + → + lim ( ) (0), 0 f x f x = 故 → 即f (x)在x=0点的连续. 所以f (x)=|x|在(-∞,+∞)内处处连续. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim f x f x f x f x f x x x = = = − + → 注 f (x)在x0点连续 f (x)在x0点既左连续又右连续，即
第一章 函数与极限 高等数学少学时 变量u从一个初值，变到终值2，则42一4，称为变量u的 增量，记作△w,即△U=W2一山1,2=41+△u. 对函数=f(x)来说，有 自变量的增量：Xo,△x,△x=X-Xo 函数的增量：Ay=f(x,+△x)-f(x) 定义3设y=f(x)在点x,的某一邻域内有定义如果 iAylinf(o+Ax)-f)]0, 则称函数y=f(x)在点x。连续 北京邮电大学出版社 5
5 变量u从一个初值u1 变到终值u2 ,则u2 − u1 称为变量u的 , u = u2 − u1 . 增量，记作Δu, 即 u2 = u1 + u 自变量的增量: 函数的增量: 0 0 x , x, x = x − x ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f 对函数y = f (x)来说,有 ( ) . 则称函数 y = f x 在点x0 连续 ( ) , 设y = f x 在 点 x0 的某一邻域内有定义如 果 lim lim ( ) ( ) 0, 0 0 x 0 0 = + − = → → y f x x f x x 定义3
第一章 函数与极限 高等数学少学时 sina-sin B=2cos a+B. a-B sin 2 2 例3证明函数.f(x)=sinx在(-oo,+oo)内是连续的 证x∈(o,+∞ )△y=sin(x+△x)-sinx y=+Ar-sn时=2当a+当sd △x x≠0，小sinx<x, 0say<2.Aa :.由夹逼定理，有im△y=0 Λx→0 ∴.f(x)=sinx在(-oo,+oo)内是连续的 类似地，可证函数f(x)=cosx在(-oo,+o)内是连续的 北京邮电大学出版社 6
6 证 x (− ,+ ), y = sin( x + x) − sin x | | 2 | | 0 y 2 x x = f (x) = sin x在 (− ,+ )内是连续的. y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = lim 0 0 = → y x 由夹逼定理，有 例 3 2 2sin x x x x 0 sin , ， 证明函数 f (x) = sin x 在 (− ,+ )内是连续的. 类似地， 可证函数 f (x) = cos x 在 (− ,+ )内是连续的. 2 sin 2 sin sin 2cos + − − =
第一章 函数与极限 高等数学少学时 二、函数的间断点 如果f(x在点x的某一去心邻域有定义如果f(x有下列 三种情形之一： (1①)函数f(x)在x=七。处无定义 (2)f(x)在x=x有定义，但极限imf(x)不存在； x→x0 (3)f(x)在=x有定义，但极限imf(x)≠f(x)片 则称x是f(x的不连续点或间断点 北京邮电大学出版社
7 二、函数的间断点 如 果f (x)在 点x0的某一去心邻域有定义,如 果f (x)有下列 (2) ( )在 有定义，但极限lim ( )不存在； 0 f x x x0 f x x→x = (1) ( ) ; 函数f x 在 x = x0 处无定义 ( ) . 则称x0 是f x 的不连续点或间断点 三种情形之一： (3) ( )在 0有定义，但极限lim ( ) ( 0 )； 0 f x x x f x f x x x = →
第一章函数与极限 高等数学少学时 间断点的分类 第一类间断点：x是f(x)的间断点，且在点xo,fx)的左、右极 限都存在. 第二类间断点：不是第一类的其它间断点. 例4求函数(x)=sinx的间断点并判别其类型 x 解f(x)在点x=0无定义，所以x=0是fx)的间断点.因为 limf()=lim sinx=1 sinx x >0 x→0 X 所以x=0是fx)的第一类间断点如果补充定义：令=0时f(0)=1, 则f(x)在点=O是连续的.所以x=O又称为函数的可去间断点. 北京邮电大学出版社
8 间断点的分类 第一类间断点: 第二类间断点： 不是第一类的其它间断点. x0是f (x)的间断点，且在点x0 , f (x)的左、右极 限都存在. 例4 ( ) , . sin 求函数 的间断点 并判别其类型 x x f x = f (x)在点x=0无定义，所以x=0是f (x)的间断点.因为 ( ) 1 sin lim lim 0 0 = = → → x x f x x x 解 所以x=0是f (x)的第一类间断点.如果补充定义:令x=0时,f (0)=1, 则f (x)在点x=0是连续的.所以x=0又称为函数的可去间断点
第一章 函数与极限 高等数学少学时 x-1,x0 X 解mfc)=m(-)=-1, imf(c)=m(+)=1 y=x-1 imf(c)≠mf(c以lif(c不存在 x=0是f(x)的第一类间断点.如图y=f(x的图形在=0处 产生跳跃现象，这样的间断点称为函数的跳跃间断点 北京邮电大学出版社
9 ( ) . 0 0 0 1, 0, 1, 求 的间断点 = + − = x x x x x f x lim ( ) lim ( 1) 1, 0 0 = − = − → − → − f x x x x lim ( ) lim ( 1) 1, 0 0 = + = → + → + f x x x x lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ x f x = 0是 ( )的 如图, y = f (x)的图形在x = 0处 例5 。 1 。 −1 y = x +1 y = x −1 x y O • 解 lim ( ) lim ( ), 0 0 f x f x x x → − → + 产生跳跃现象，这样的间断点称为函数的跳跃间断点. 第一类间断点
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例6求函数y=sin 的间断点并判别其类型 X 解函数y=sim二在x=0点无定义，=0是函数的间断点.当 X x→0时，函数值在-1,1之间来回摆动，函数的极限不存在，所以 x=O是函数的第二类间断点.这样的间断点称为震荡间断点. ... X 北京邮电大学出版社 010
10 , . 1 求函数 sin 的间断点 并判别其类型 x y = x →0时, 例6 解 函数 在 0点无定义， x=0是函数的间断点.当 1 = sin x = x y 函数值在-1，1之间来回摆动,函数的极限不存在,所以 x=0是函数的第二类间断点.这样的间断点称为震荡间断点. 2 1 −1 x y O