第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第二节氵 洛必达法则 一、 00 型未定式 二、 型未定式 00 三、其他未定式 北京邮电大学出版社 1
1 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 函数的性态 微分中值定理 11 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限 lim f(x) 0 或 818 型)》 g(x) 转化 洛必达法则 导数之商的极限 f'(x) g'(x) 北京邮电大学出版社 20
2 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型 ) 本节研究: 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 0 型未定式 定理1()四f(x)=mF(x)=0: (2)在x的某去心邻域内f'(x以F'(x)存在且F'(x)≠0； 3)im 存在 F'(x) （或无穷大）； 那么 f(x) lim f'(x) x-→x0 F(x) x→x0 F'(x) 这种求极限的方法称为 型未定式的洛必达法则， 北京邮电大学出版社 3
3 一、 定理1 型未定式 0 0 那么 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) lim lim x x x x f x f x → → F x F x = 这种求极限的方法称为 0 0 型未定式的 洛必达法则. (2)在 x0的某去心邻域内 f (x)、F(x) 存在且 F(x) 0; (3) ( ) 0 ( ) lim x x f x → F x 存在（或无穷大）； ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim 0; x x x x f x F x → → = =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定理条件：()im/()=i四F()=0: (2)在xo的某去心邻域内f'(x人F'(x)存在且F'(x)≠0； (3)lim ∫（女存在（或无穷大）； (x) 证不妨假设f(x,)=F(x)=0,在指定的邻域内任取 x≠x,则f(x),F(x)在以x,x为端点的区间上满足柯西 定理条件，故 f()_f(x)-f(x) =f"(5) (5在x,x之间) F(x) F(x)-F(x) F'(5) f'(5) lim f(x 2=lim lim f'(x) x-→xF(x 5→xF'(5) x→x0 F'(x) 北京邮电大学出版社
4 ( 在 x , x0之间) 不妨假设 在指定的邻域内任取 则 在以 x, x0 为端点的区间上满足柯西 故 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x F x F x F x − = − 0 ( ) lim ( ) x f F → = 定理条件: 定理条件, 证 (2)在 x0的某去心邻域内 f (x)、F(x) 存在且 F(x) 0; (3) ( ) 0 ( ) lim x x f x → F x 存在（或无穷大）； ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim 0; x x x x f x F x → → = = 0 0 f x F x ( ) ( ) 0, = = ( ) ( ) f F =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 洛必达法则 lim f(x) =lim f'(x) x→F(x) x→x0 F'(x) 注1定理1中x→x,换为下列过程之一： x→x0,X→x0,X→00，X→+o0,x→-00 条件(2)作相应的修改，定理1仍然成立. 注2若1im/) F'(x) 仍展8型，且了0e,F满足定 理1条件，则 limf)=lim=lim) F(x) F'(x) F"(x) 北京邮电大学出版社 05
5 注1 定理1中 0 x x → 换为下列过程之一: 0 x x , → − 注2 理1条件, 则 条件 (2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x → → F x F x = ( ) ( ) lim F x f x 仍属 0 0 若 型, 且 f x F x ( ), ( ) 满足定
第三章 微分中值定理与导数的应用 ax-bx 高等数学少学时 例1求极限 lim (a,b>0) x→0 X ax-bx ax Ina-bx Inb 解im x->0 X x→0 1 L Ina-Inb =In b x-sinx 例2 求极限 lim x→0 x3 x-sinx 1-cosx sin x 1 解 lim lim >0 x3 x>0 3x2 x-→0 6x 6 这个例子表明，洛必达法则可以连续多次使用，但每次 使用时，必须检验是否属。型或型未定式，且()和 F(x)能否满足洛必达法则的条件. 北京邮电大学出版社 6
6 例1 求极限 ( ) 0 lim , 0 x x x a b a b → x − 解 0 0 ln ln lim lim 1 x x x x x x a b a a b b → → x − − = ln ln ln a a b b = − = 例2 求极限 3 0 sin lim x x x → x − 解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → 6 1 6 sin lim 0 = = → x x x 这个例子表明, 洛必达法则可以连续多次使用, 但每次 使用时, 必须检验是否属 0 0 型或 型未定式, 且 f (x) 和 F(x) 能否满足洛必达法则的条件
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 Inx 例3求极限 lim →1 (x-1 解 Inx lim 、 lim- X :lim (x-1)22(x-1) 2x(x-1) 注意：不是未定式就不能用洛必达法则！ 1 x2 2(x-2(e-1r lim 2 北京邮电大学出版社 7
7 例3 求极限 ( ) 2 1 ln lim 1 x x x → − 解 ( ) ( ) 2 1 1 1 ln lim lim x x 1 2 1 x x → → x x = − − ( ) 1 1 1 lim 2 1 x→ x x = − = 注意: 不是未定式就不能用洛必达法则 ! ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 lim lim lim x x x 2 1 [2 1 ] 2 2 x x x → → → x x − = = − − −
第三章 微分中值定理与导数的应用 二、” 高等数学少学时 型未定式 00 定理2()1mf()=mF()=o; >X (2)在的某去心邻域内f'(x)F'(x)存在且F'(x)≠0； (3)lim '(x F(x) 存在（或无穷大）； 那么 lim f(x) lim f'(x) x→X0 F(x) x→x0 F'(x) 值得注意的是，该法则对于其他极限过程仍成立 北京邮电大学出版社 8
8 二、 型未定式 定理2 值得注意的是,该法则对于其他极限过程仍成立. 那么 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) lim lim x x x x f x f x → → F x F x = (2)在 x0的某去心邻域内 f (x)、F(x) 存在且 F(x) 0; (3) ( ) 0 ( ) lim x x f x → F x 存在（或无穷大）； ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim ; x x x x f x F x → → = =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 Inx 例4求极限 lim X)+00 x 解 Inx 比 lim lim —=0 x→十0∞ X X→+00 例5求极限 lim x)+00 (n为正整数). 解 连续使用洛必达法则n次，得 lim x" lim nx"-1 (n-1)xr-2 n! =…= lim =0 x-to e lim X-→十00 →+0∞ ex @t 北京邮电大学出版社 09
9 例4 求极限 ln lim x x →+ x 解 1 ln lim lim x x 1 x x x − →+ →+ = = 0 例5 求极限 e lim n x x x →+ ( n 为正整数). 解 连续使用洛必达法则n 次, 得 e e 1 lim lim n n x x x x x nx − →+ →+ = 2 ( 1) lim n x x n n x e − →+ − = e ! lim 0 x x n →+ = = =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 三、其他未定式：00,0-0,0°，1°，0型 解决方法： 0 通分 0 取倒数 取对数 0.00 转化 转化 转化 00 00 例6求lim xInx(n>0): 00型 x→01 Inx 解原式=im 洛 lim -2 x→0*一X =lim(-x)=0 x→0t 北京邮电大学出版社 10C
10 三、其他未定式: 解决方法: 通分 转化 0 0 0 取倒数 转化 0 0 1 0 取对数 转化 例6 求 0 lim ln ( 0). x x x n → + 0型 解 原式 1 0 ln lim x x x + − → = 1 2 0 lim x x x + − → = − = 0 0 lim( ) x x → + = − − 洛