河套学院（河套大学）：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵 2.6 矩阵的秩

第二章 矩阵 目录 四 2.1 矩阵的概念 四 2.2 矩阵的运算 四 2.3 逆矩阵 四2.4 矩阵的分块 四2.5 初等变换与初等矩阵 ★2.6 矩阵的秩 四2.7 应用举例 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东学司

第二章 矩 阵  2.1 矩阵的概念  2.2 矩阵的运算  2.3 逆矩阵  2.4 矩阵的分块  2.5 初等变换与初等矩阵 ★ 2.6 矩阵的秩  2.7 应用举例 目录 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 快乐学习

本节授裸计划 水人 (2课时) 尚本 必复习 》新课 2.6矩阵的秩 第十五欢课 小结 必思考题及答案提示 必练习、作业及参考答案 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐学可

快乐学习 以人 为本 ❖复习 ❖新课 2. 6 矩阵的秩 ❖小结 ❖思考题及答案提示 ❖练习、作业及参考答案 第 十 五 次 课 本节授课计划（2课时） 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵

水人 2.6 矩阵的秩 尚本 主题调 1.矩阵A的k阶子式 2.矩阵A的秩 3.满秩矩阵 4.降秩矩阵， 返回 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东学司

快乐学习 以人 为本 主 题 词 2.6 矩阵的秩 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 1.矩阵 的 阶子式 2.矩阵 的秩 3.满秩矩阵 4.降秩矩阵. A A k 返回

相吴内容国预 水人 尚本 矩阵阶梯形、最简形以及标准的概念 123 2 100 2 100 07 5 01 5 01 00 -13 -14 00 14 0 0 0 0 0 0 本节课主要介绍矩阵的秩的概念及其求法， 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东骨司

快乐学习 以人 相关内容回顾 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 矩阵阶梯形、最简形以及标准的概念. 本节课主要介绍矩阵的秩的概念及其求法.               − − 0 0 0 0 0 0 13 14 0 7 7 5 1 2 3 2               − 0 0 0 0 0 0 1 14 0 1 0 5 1 0 0 2               0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ， ，

水人 新课 2.6矩阵的秩 尚本 我们知道，给定一个mxn矩阵A,它的标准形 D mxn 由数r完全确定.这个数也就是矩阵A的行阶梯形 中非零行的行数，这个数便是矩阵A的秩.但由于 这个数的唯一性尚未证明，因此下面我们用另 个说法给出矩阵秩的定义 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 我们知道，给定一个 mn 矩阵 A ，它的标准形 m n r O O E O D          = 由数 r 完全确定.这个数也就是矩阵 A 的行阶梯形 中非零行的行数，这个数便是矩阵 A 的秩. 但由于 这个数的唯一性尚未证明，因此下面我们用另一 个说法给出矩阵秩的定义

水人 新课 2.6矩阵的秩 (续1) 尚本 定义2.6.在m×n 矩阵A中，任取k行与人 列亿≤m,k<,位于这些行列交叉处的2个元 素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的 阶行列式称为矩阵A的k阶子式. 注意，矩阵的k阶子式是行列式而不是矩阵； mxn 矩阵A的k阶子式共有C·C个， 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 （续1） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 定义2.6.1 在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列 (k  m,k  n) ，位于这些行列交叉处的 2 k 个元 素，不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式称为矩阵 的 阶子式. A k A k 注意：矩阵的 k 阶子式是行列式而不是矩阵； mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 k n k Cm C 个

水人 新课 2.6 矩阵的秩（续2） 尚本 定义2.6.2 设在矩阵A中有一个不等于0的”阶 子式D,且所有r+1阶子式(（若存在)全等于0， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩阵 4的秩，记作(4=r,并规定零矩阵的秩等于0. 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 （续2） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 定义2.6.2 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 r 子式 阶 D ，且所有 r +1 则称 D 为矩阵 A 的最高阶非零子式，称 r 为矩阵 A 的秩，记作 R(A) = r .并规定零矩阵的秩等于0. 阶子式（若存在）全等于0

水人 新课 2.6矩阵的秩 (续3) 尚本 由行列式的性质可知，在矩阵A中当所有r+1 阶子式全等于0时，所有高于+阶的子式也全为0 因此把阶非零子式称为最高阶非零子式，并由此 可知矩阵A的最高阶非零子式可能不止一个.而A 的秩（④就是A的非零子式的最高阶数 滋定义26.2表明：若矩阵A中有一个阶非零子 式，则（≥：若A中所有r阶子式全为0，则R(④<r 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

的最高阶非零子式可能不止一个.而 中所有 快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 （续3） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 由行列式的性质可知，在矩阵 A 中当所有 r +1 阶子式全等于0时，所有高于 r +1 阶的子式也全为0 因此把 r 阶非零子式称为最高阶非零子式，并由此 可知矩阵 A A 的秩 R(A) 就是 A 的非零子式的最高阶数. 定义2.6.2表明：若矩阵 A 中有一个 r 阶非零子 式，则 R(A) r; 若 A r 阶子式全为0，则 R(A) r. 注

水人 新课 2.6矩阵的秩 (续4) 尚本 显然，若矩阵A为mxn矩阵，则Rsm,R④sn 对于n阶矩阵A,若4≠0，则R(④=n;若0 则④<n因此，可逆矩阵又称满秩矩阵， 不可逆 矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵， 由于行列式与其转置行列式相等，因此，矩阵 的子式与A的子式对应相等，从而(4)=（④ 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快乐骨司

快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 （续4） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 ；若 显然，若矩阵 A 为 mn 矩阵，则 R(A)  m,R(A)  n. 对于 n 阶矩阵 A ，若 | A | 0 ,则 R(A) = n | A |= 0 则 R(A)  n 因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆 矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵. 由于行列式与其转置行列式相等，因此，矩阵 T A 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(A ) R(A) T =

水人 新课 2.6矩阵的秩 (续5) 尚本 例2.6.1求矩阵A和B的秩，其中 2-103-2 123 031-25 A=23-5 B= 0 004-3 47 00 0 0 0 解 在矩阵A中，容易看出一个2阶子式 ≠0 而A的3阶子式只有一个，经计算可知A0, 因此R(A-2 河套大学《线性代数》课件 第二章矩阵 快东学司

快乐学习 以人 2.6 矩阵的秩 （续5） 为本 河套大学《线性代数》课件 第二章 矩阵 新课 例2.6.1 求矩阵 A 和 B 的秩，其中 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 , 4 7 1 2 3 5 1 2 3               − − − − =           A = − B 解 在矩阵 A 中，容易看出一个2阶子式 0, 2 3 1 2  而 A 的3阶子式只有一个 | A | ，经计算可知 | A |= 0, 因此 R(A) = 2