第四章 相似矩阵与与一次型 目录 4.1n 维向量的内积 4.2 矩阵的特征值与特征向量 ☐4.3 相似矩阵 四4.4二次型(2) ☐4.5正定二次型 4.6应用举例 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司
□ 4.1 维向量的内积 □ 4.2 矩阵的特征值与特征向量 □ 4.3 相似矩阵 4.4 二次型（2） □ 4.5 正定二次型 □ 4.6 应用举例 目录 快乐学习 n 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 第四章 相似矩阵与二次型
本节授裸计划 水人 (2课时) 尚本 必复习 必新课 4.4二次型 (2) 第三十三次课 4.4.2.2用配方法化二次型为标准形 4.4.2.3用初等变换法化二次型为标准形 冬小结 必思考题及答案提示 练习、作业及参考答案 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐学司
快乐学习 以人 为本 ❖复习 ❖新课 4.4 二次型（2） 4.4.2.2 用配方法化二次型为标准形 4.4.2.3 用初等变换法化二次型为标准形 ❖小结 ❖思考题及答案提示 ❖练习、作业及参考答案 第 三 十 三 次 课 本节授课计划（2课时） 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型
相关内容回颜1 水人 尚本 用正交变换法化二次型为标准型的步骤？ 第一步写出二次型的矩阵， 第二步求火特征多项式E-A的全部根，即 的特征值.设A的全部特征值为2，，…，入， 由定理4.3.4知，n阶实对称矩阵A一定可求出所 有的实特征值， 6步 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学日
阶实对称矩阵 的特征值.设 快乐学习 以人 相关内容回顾 1 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 | E − A| A A s , , , 1 2 n A 第一步 写出二次型的矩阵； 的全部根，即 的全部特征值为 由定理4.3.4知， 有的实特征值； 用正交变换法化二次型为标准型的步骤？ 6步 第二步 求出特征多项式 ， 一定可求出所
相关内容回预2 水人 尚本 第三步本出矩阵A的属于每个特征值人的二 组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组 (,E-4)X=0的一个基础解系， 第四步通过施密特正化过程，把个特征值 2对应的的齐次线性方程组（☑，E-)X=0的一个基 础解系进行正交化、单位化； 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐骨司
对应的的齐次线性方程组 的一个基 的属于每个特征值 快乐学习 以人 相关内容回顾 2 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 A i (i E − A)X = 0 i (i E − A)X = 0 第三步 求出矩阵 组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组 第四步 通过施密特正交化过程，把每个特征值 础解系进行正交化、单位化； 的一 的一个基础解系；
相关内容回预3 水人 尚本 第玉步n个正交单位化的特征向量作为列 向量所得的阶方阵即为所求的正交矩阵T, 以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵， 即为所求的TAT 第去步令X=CY,即得标准型 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐骨司
快乐学习 以人 相关内容回顾 3 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 n n T T AT −1 X = CY 第五步 以 向量所得的 阶方阵即为所求的正交矩阵 以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵， 第六步 令 ，即得标准型. 个正交单位化的特征向量作为列 ， 即为所求的
水人 4.4二次型(2) 尚本 1.正惯性指数 2.负惯性指数 3.配方法 4.初等变换法 返回 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司
快乐学习 以人 为本 主 题 词 4.4 二次型（2） 返回 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 1.正惯性指数 2.负惯性指数 3.配方法 4.初等变换法
0人 新课 4.4.2.2 配方法1 幸 以上我们证明了任意一个二次型都可经过正 交变换化为标准形.由于正交变换一定是可逆的， 因此这也说明了任一个二次型都可经过可逆线性 变换化为标准形，因为正交变换具有保持向量的 度量性质不变的优点，所以正交变换保持了二次 型的几何性质，但是用正交变换化二次型为标准 形的算法与步骤较多，计算比较繁琐 正爱变换法的特点 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐骨司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.4.2.2 配方法 1 以上我们证明了任意一个二次型都可经过正 交变换化为标准形.由于正交变换一定是可逆的， 因此这也说明了任一个二次型都可经过可逆线性 变换化为标准形. 因为正交变换具有保持向量的 度量性质不变的优点，所以正交变换保持了二次 型的几何性质. 但是用正交变换化二次型为标准 形的算法与步骤较多，计算比较繁琐. 正交变换法的特点
0人 新课 4.4.2.2 配方法2 幸 当没有限制用正交变换来化简二次型的时候 可以用可逆线性变换把二次型化为标准形.这种 方法配方法 我们通过简单例题加以说明 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.4.2.2 配方法 2 当没有限制用正交变换来化简二次型的时候， 可以用可逆线性变换把二次型化为标准形. 这种 方法——配方法. 我们通过简单例题加以说明
水人 新课 4.4.2.2 配方法3 幸 例4.4.4化二次型 fx2)=x2+2xx2+5x 为标准形 解先集中含有变量x的项并配方，即 f(c,x2)=x2+2xx2+5x3=+x写)}+4x写 令 y=X1+X2, (4.4.7） y2=X2 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东骨司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.4.2.2 配方法 3 例4.4.4 化二次型 ( ) 2 1 2 2 2 f x1 , x2 = x1 + 2x x + 5x 为标准形. 解 先集中含有变量 1 x 的项并配方，即 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 f x1 , x2 = x1 + 2x x2 + 5x = x + x2 + 4x 令 = = + y x . y x x , 2 2 1 1 2 （4.4.7）
水人 新课 4.4.2.2 配方法4 幸 得标准形为 fx,x2)=+4, (4.4.8) 式(4.4.7)就是变量X与变量Y之间的关系， 从（4.4.7)中解出x1与x2,即 X1=y1-y2 (4.4.9） X2=y2 悬结步骤 下面将上面的二次型用矩阵形式表示： 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.4.2.2 配方法 4 得标准形为 ( ) 2 2 2 f x1 x y1 4y , 2 = + （4.4.8） 式（4.4.7）就是变量 X 与变量 Y 之间的关系， 从（4.4.7）中解出 1 x 2 与 x ，即 = = − . , 2 2 1 1 2 x y x y y （4.4.9） 下面将上面的二次型用矩阵形式表示： . 总结步骤