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北京邮电大学出版社:21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源(PPT课件讲稿)第9章 曲线积分与曲面积分 3格林公式及其应用

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第3布 第九章 老林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数全微分的求积问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第九章 三、二元函数全微分的求积问题

一、格林公式 1.两个概念 1)平面单连通区域 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D,则称D为平面单连通区域;否则称为复连通☒ 域.通俗地说,平面单连通区域就是不含有"洞”(包 括“点洞”)的区域,复连通区域就是含有”洞”的区 域 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走 时,D总在它的左边 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1.两个概念 1)平面单连通区域 L l 一、 格林公式 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D,则称D为平面单连通区域;否则称为复连通区 域.通俗地说,平面单连通区域就是不含有“洞”(包 括“点洞”)的区域,复连通区域就是含有“洞”的区 域. 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走 时,D总在它的左边.

2.格林公式 定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有 器-v-手Pu÷e如wx, 其中L是D的取正向的边界曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2.格林公式 定理1 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 其中L是D的取正向的边界曲线.

证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且 D-92g风 a≤x≤b 则 ao 6 X dx =∫w2y.y)dy-∫yy)dy =cex,yay-jcaexyay =(xdy+c(x)dy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy O d c y x E C A B a b D

即 心dody-jxa ① 同理可证 -gad-n地 ② ①、②两式相加得: 28dat-f人P0N, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d

2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域,如图 D2 心 )dxdy 2.(0器 )dxdy =左 Pdx+Qdy(D,表示D,的正向边界)》 =f Pdx+Qdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) 1 d d i n D i Q P x y = x y   = −    ( ) x y y P x Q D d d   −    1 d d i n D i P x Q y  = = +   = + L Pdx Qd y 为有限个上述形式的区域 , 如图 y O x ( 表示 的正向边界) Di Di 

3.平面区域的面积 正向闭曲线L所围区域D的面积 4=分2y-yd 刚32计共西上-。 (0≤0≤2元)所围面积 解:4=力,xd-yar (babsin BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 3.平面区域的面积 例9.3.2 计算椭圆 (0 2π) sin cos :      = =    y b x a L 所围面积.  = + 2π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab   = π ab 解:

例9.33计算1=e'dxdy其中D是以O0,0),A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解:令P=0,Q=xe,则 B(0,1) A(1,1) =e-v y=X Bx 利用格林公式,有 edxdy =xedy -Joxe *dy =fixe dx =0-e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.3 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, e y P Q x − = = 利用格林公式 , 有  − = D y x e dy 2 x y OA y e d 2  − = x x x e d 1 0 2  − = (1 e ) 2 1 −1 = − y = x y x A(1,1) B(0,1) D O

那35计算.之+为 xdy-ydx 其中为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解令r20 X 则当x2+y2≠0时=r OP (x2+y2)20y 设L所围区域为D,当(0,0)D时,由格林公式知 =0 00N BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.5 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y x L O

当(0,0)eD时,在D内作圆周7:x2+y2=2,取逆时 针方向,记L和1所围的区域为D,对区域D,应用格 林公式,得 fur xdy-ydx X =八p0dd=0 - =cos9*es' d0=2π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束       d 2π cos sin 0 2 2 2 2 2  + = = 2 π 当(0,0)D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x + y =  取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格  + − − l x y x y y x 2 2 d d  − + − = L l x y x y y x  2 2 d d 0d d 0 1 = =  x y D L D1 l 记 L 和 l ¯所围的区域为 林公式 , 得 y O x

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