第5节 第七章 方向导款写梯意 一、方向导数 二、梯度 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第5节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度
一、方向导数 定义1若函数f(x,y)在点P(x,y)处 沿方向1（方向角为，阝）存在下列极限 P(x,y) lim △f X p->0 lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)记作f al o风a 则称⊙f 为函数在点P处沿方向1的方向导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数 定义1 若函数 f (x, y) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y = → 在点 P(x, y) 处 沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限: = 记作 P(x, y) l x y O ' P
定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微， 则函数在该点沿任一方向1的方向导数存在，且有 01_⊙1cosa+ 01 0x cosB. y 其中a,B为的方向角 P(x,y) 证明：由函数f(x,y)在点P可微，得 AJ-8FAx+5 8x fAy+o(p) p()o() 1y 故 of=lim Af =+ al of cosB ∂x y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 若函数 f (x, y) 在点P(x, y) 处可微, 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 limcos cos , y f x f l f + = 证明: 由函数 f (x, y) y o( ) y f x x f f + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 故 cos cos y f x f + = P(x, y) l x y O ' P
特别： ·当与x轴同向(a-0.月-)时，有 of ∂f al 8x ·当与x轴反向（α=，B=时，有 ∂f of al 8x 对于三元函数f(x,y,)在点P(x,y,)处可微分，则 f lim f(x+△x,y+△y,2+△2)-f(x,y,2) al 0→0 of cosy x 0y z p=△)2+(42+（△2 Ax=pcos a,Ay=pcos B,Az=pcosy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, α = β = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , α = β = x f l f = − 对于三元函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微分，则 ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = l → f cos cos cos z f y f x f + + =
例7.5.1求函数z=x2+y在点(2,1)处沿方向7=37-47 的方向导数 解：向量1的方向余弦为 cosa= 5 cosB-- 4 =2x =4, =2y以 =2, (21 (2,1 ay2, (2,1) 故在点(2,1)处，所求方向导数 84月 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.1 求函数 在点 (2, 1) 处沿方向 的方向导数 . 2 4, (2,1) (2,1) = = x x z 解: 向量 l 的方向余弦为 2 2, (2,1) (2,1) = = y y z 故在点 (2, 1) 处，所求方向导数 . 5 4 5 4 2 5 3 4 = = + − l z
二、梯度 定义2设函数：=x,y)在点(x,y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数⊙/，⊙，则向量 Ox'oy y+0yj 8x 称为函数z=x,y)在点(x,y)的梯度，记作gradfx, ),即 gradf(x,y)= 8 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 定义2 设函数z＝f(x，y)在点(x，y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数 ,则向量 y f x f , j y f i x f + 称为函数z＝f(x，y)在点(x，y)的梯度，记作gradf(x， y)，即 j y f i x f f x y + grad ( , ) =
当9=0时，太到最大，最大值是 gradf(x,y) +鬧 即方向与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值.梯度的方向是函数x,y)在点(x,y)增长最快 的方向 (2)当0=时， 达到最小，最小值是 -gradf(x,y). 即负梯度的方向是函数(x,y)在点(x,y)减少最快 的方向 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (1)当θ＝0时， 达到最大，最大值是 | ( , )| . 2 2 + = y f x f gradf x y − | gradf (x, y)|. l f 即方向l与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值．梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)增长最快 的方向． (2)当θ＝π时， 达到最小，最小值是 l f 即负梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)减少最快 的方向．
梯度的几何意义 对函数：=f(x,y),曲线 八”在x0面上的投影 z=0 L:f(x,y)=c称为函数f的等值线或等高线 .举例 设fx,才，不同时为零，则L上点P处的法向量为 (fx,fy)p=gradf p =Vf p 函数在一点的梯度垂直于该点等值线」 指向函数增大的方向 同样，f(x,y,z)=c称为u=f(x,y,z) X 的等值面（等量面）.当其各偏导数不同 (设c<C2) 时为零时，其上点P处的法向量为gradfp=Vfp BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 梯度的几何意义 O y x 1 f = c f = c ( ) 1 2 设c c P 曲线 在 xOy 面上的投影 z c z f x y = = ( , ) L : f (x, y) = c * 称为函数 f 的等值线或等高线 . 设 , 不同时为零 , x y f f 则L *上点P 处的法向量为 x y P ( f , f ) P = grad f 2 f = c 对函数z = f (x, y), 举例 函数在一点的梯度垂直于该点等值线, 指向函数增大的方向. 同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同 其上点 P 处的法向量为 P grad f 称为 时为零时, P = f . P = f
例7.5.3求梯度向量gd x+y 解于求智 2x ar 2y Ox (x2+y2)20y (x2+y2)2 2x ∴gad 2y x2+y2-( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.3 求梯度向量 解: 由于
内容小结 1.方向导数 ·二元函数f(x,y)在点P(x,y)沿方向1（方向角为 心，B)的方向导数为 Of =of cosa+ Of cosB-Ofcosa+ sin a ∂lax Ox y ·三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿方向1（方向角 为a,B,y)的方向导数为 ∂f_af cosa of cosB+2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 为, , ) 的方向导数为 cos cos cos z f y f x f l f + + = • 二元函数 在点 , ) 的方向导数为 cos cos y f x f l f + = 沿方向 l (方向角为
