第3为 第六章 平面及其方程 平面的点法式方程 二、 平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 四、平面外一点到平面的距离 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 平面及其方程 第六章 四、平面外一点到平面的距离
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(xo,y,2o)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面I的方程 任取点M(x,y,)eⅡ，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0y-0,2-0） A(x-xo)+By-yo)+C(2-0)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O z y x M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的
例6.3.2求过两点M1(1,0,-1),M2(-2,1,3),并且与向量 a=2-+平行的平面的方程 解：取法向量为 n=a×MM2={2,-1,1}×{-31,4} 2 -1 ={-5,-11,-1} -31 4 =-{5,11,1} 又M(1,0,-1),则所求平面的方程为 5(x-1)+11(y-0)+(z+1)=0, 即 5x+11y+z-4=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 i j k = 例6.3.2 求过两点 (1,0, 1), 又M1 − = −{5,11,1}. 解: 取法向量为 a = 2i－j＋k平行的平面的方程. 则所求平面的方程为 2 −1 1 −3 1 4 n {2, 1,1} { 3,1,4} = aM1 M2 = − − ={−5,−11,−1}
二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 Ax+By+C=+D=0(42+B2+C2#0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,y%,0,则 4xo+Byo+Czo+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-y0)+C(2-2o)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 式方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 式方程
Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面 ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴： ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面， ·Ax+D=0表示平行于yOz面的平面； ·By+D=0表示平行于zOx面的平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D = 0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i
例6.3.3求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例6.3.3 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程
如果平面通过坐标轴上点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) (其中a0,b0,c0).则平面方程为 x++2=1. b 方程叫做平面的截距式方程，其中α，b,c是平面在 三个坐标轴上的截距， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 如果平面通过坐标轴上点(a,0,0)，(0,b,0)，(0,0,c) (其中a≠0，b≠0，c≠0)．则平面方程为 + + =1. c z b y a x 方程叫做平面的截距式方程，其中a，b，c是平面在 三个坐标轴上的截距
三、两个平面的夹角 两个平面法向量的夹角（常指锐角）称为平面的夹角 设平面的法向量为=(4，B1,C) 平面的法向量为2=(42，B2,C2) 则两平面夹角θ的余弦为 cosθ 即 A4 BiB2 CiC2 cos0 VA2+B2+C2V22+B22+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、两个平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两个平面法向量的夹角(常指锐角)称为平面的夹角. 1 2 n2 n1 ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n n =
Π1：万=(A,B1,C1) n1·2 Π2：n2=(42,B2,C2)） COs0= 特别有下列结论： ()卫1Π2=1 =A1A2+BB2+C1C2=0 (2)Π1/Π2，一元/元 A B, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2 特别有下列结论： 1 2 (1) ⊥ A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0 1 2 (2) // 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n n = n1 ⊥ n2 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C = =
例6.3.6 求两平面2x-y+z-7=0和x+y+2z-11=0 的夹角 解：两平面的法向量分别为乃={2，-1,1}，2={1,1,2 12×1+(-1)×1+1×2 cos0 V22+(-1D2+12×√12+1+22 2 因此，夹角9=7 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例6.3.6 求两平面2x－y + z －7 = 0和x +y +2z －11=0 的夹角. 解: 两平面的法向量分别为