北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第6章 空间解析几何 2向量的向量积

第2为 第六章 句量的句量积 向量的向量积 二、混合积 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、混合积 第2节 一、向量的向量积 向量的向量积 第六章

一、向量的向量积 引例.设0为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力℉作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=0=OpFsine OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M⊥F 00=Op sine BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F

定义1 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,cLb且符合右手规则 向量c 模：c=a bsin0 称c为向量a与b的向量积，记作 c=axb (外积、叉积) 引例中的力矩M=OPxF c-axb 思考：右图三角形面积 S=axb BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义1 定义 向量 方向 : (外积、叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a, c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝

性质 axb a b sine (1)axa=0 (2)a,b为非零向量，则axb=0二a/b 证明：当a≠0，b≠0时」 axb=a b sin0=0 sin0=0,即0=0或π三a∥b 运算规律 ()a×b=-bxd (2)分配律(a+b)xc=axc+bxc (证明略) (3)结合律(2a)×b=a×(2b)=2(a×b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质 为非零向量, 则 sin = 0，即 = 0 或π (1) a a = 0 (2) a, b ab = 0 a ∥ b 当a  0, b  0时, a ∥ b ab = 0 a b sin = 0 运算规律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) = −b a (a + b)c =ac + bc ( a)b =a( b) =  (ab) (1) ab 证明: ab = a b sin

向量积的坐标表示式 设a=a,i+a,j+a.k,b=bi+b,j+b.k,则 axb=(axi+ay j+az k)x (bxi+by j+bk) =ab(ixi)+axby(ixj)+axb-(ixk) +a,b.(jxi)+a,by(jxj)+a,b.(Jxk) +a:b(2×i)+ab,(×j)+abk×K) =(ayb:-aby)i+(a-bx-ajb-)j +(axby-ajb)k BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 (ax i + ay j + az k ) (b i b j b k ) x + y + z 向量积的坐标表示式 设 a = ax i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k , 则 a b ( i i ) = x x  a b a b i y z z y = ( − ) a b a b j z x x z + ( − ) a b a b k x y y x + ( − ) a b ( j j ) + y y  a b ( k k ) + z z  i j k

向量积的行列式计算法 axB=(ayb--a-by)i+(abs-ajb-)j +(axby -aybx)k a=axi+ay j+a k B=bxi+by j+bk 0 b: a a b b BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法 i j k = ax y a az bx y b z b , x z x z b b a a − a b a b i y z z y ( − ) a b a b j z x x z + ( − ) a b a b k x y y x + ( − ) a a i a j a k = x + y + z b b i b j b k = x + y + z

例6.2.2 已知三点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7,求三 角形ABC的面积 解：如图所示， 2 ABAC sin0 ABx AC 2 2 2 2(4,-6,2) 42+(65+2=4 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例6.2.2 已知三点 A(1,2,3), B(3,4,5),C(2,4 ,7), 角形 ABC 的面积 . 解: 如图所示, SABC = A B C  2 1 = i j k 2 2 2 1 2 4 ( ) 2 1 = 4, − 6, 2 2 2 2 4 ( 6) 2 2 1 = + − + = 14 sin 2 1 AB AC 2 1 = AB AC 求三

二、混合积 定义2已知三向量a,b,c,称运算 (axb)c作 [abc] axb 为a,b,c的混合积 几何意义 以a,b,c为棱作平行六面体，则其 底面积A=a×b,高h=cosa 故平行六面体体积为 V=Ah=axb cosa (axb).c =[abc] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、混合积 定义2 已知三向量 称运算 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高  h = 故平行六面体体积为 V = Ah = = ( a  b ) c  a b c  a , b , c, 为a , b , c的 A = ab , c 以a , b , c 则其 ( a  b ) c  a b c  ab c b a

混合积的坐标表示式 a=(ax,ay,a=),b=(bx by,b),c=(cx.cy.c=) axb= ax ay a- Ax b b by b Ax [abc]-(axB)6- ay c- b bx by b BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y z x y z b b b a a a = x c y c z c i j k    混合积的坐标表示式 设 ax y a az bx y b bz    = x z x z b b a a − x y x y b b a a = ( ab ) c + ab = ( , , ), x y z a = a a a  a b c  y z y z b b a a = ( , , ), x y z b = b b b ( , , ) x y z c = c c c , y z y z b b a a , x z x z b b a a − x y x y b b a a x c y c z c

性质 (1)三个非零向量a,b,c共面的充要条件是 [abc]-0 (2)轮换对称性 [abol=[bcal=[o a bl (可用三阶行列式推出) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 = 0 (2) 轮换对称性 : [ ] (可用三阶行列式推出)  a b c  a , b , c a b c = [ b c a ] = [ c a b ] a b c