第5节 第三章 益数图形的描捻 曲线的渐近线 二、 函数=fx)图形的描绘 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、 曲线的渐近线 二、 函数y=f(x)图形的描绘 函数图形的描绘 第三章
一、曲线的渐近线 定义，若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点 时，动点P与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为 曲线C的渐近线 y=f(x) 或为"纵坐标差 y=kx+b 例如，双曲线 b2 有渐近线 a 但抛物线y=x2无渐近线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 无渐近线 . 动点 P 与某一直线 L 的距离趋于 0, 一、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的动点P 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” L y = kx + b N M O x y C y = f (x) P O x y
1.水平与铅直渐近线 若1imf(x)=b,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b, X→+00 (或x→-∞ 若1imf(x)=o,则曲线y=f(x)有铅直渐近线x=xo x-→X0 (或x→x) 例3.5.1求曲线y= +2的渐近线 x-1 解：lim( +2)=2 X→00 x-1 .y=2为水平渐近线： 1im(1,+2)=o,.x=1为铅直渐近线 x1x-1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 则曲线 有铅直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例3.5.1 求曲线 的渐近线. 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x − y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + = x→ x − x =1为铅直渐近线. y x O 2 1
2.斜渐近线 若1im[f(x)-(kx+b)]=0,则曲线y=f(x)有 X→+00 (或x→-o) 斜渐近线y=kx+b 1im[f(x)-(kx+b)]=0 X→+00 k=1im四-_b] X→十00 X mx/②-k--0 =lim f(x) X>+00 (或x→∞ lm/6）-k-b]=0 b=lim [f(x)-kx] X>+0∞ (或x→-0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线 斜渐近线 y = kx + b. (或x → −) 若 (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+ = b lim [ f (x) kx] x = − →+ (或x → −) (或x → −)
例3.5.2求曲线y=x+arctan x 的渐近线 解：计算知，曲线无水平和铅直近线 k=lim￥ ( lim x arctan x =1, X→00 x X→00 X π lim [f(x)-x]=lim arctan x= X→+00 2 元 lim [f(x)-kx]lim arctan x=- X→-00 2 所以曲线y=x+arctanx有斜近线 和y=x- π y=x+ 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.5.2 求曲线 的渐近线. 解:计算知，曲线无水平和铅直渐近线. 1, arctan lim ( ) lim = + = = → → x x x x f x k x x , 2 lim [ ( ) ] lim arctan − = = →+ →+ f x k x x x x , 2 lim [ ( ) ] lim arctan − = = − →− →− f x k x x x x 所以曲线 有斜渐近线
二、函数=x)图形的描绘 步骤： 1.确定函数y=f(x)的定义域、周期性、奇偶性、 与坐标轴的交点 2.求f'(x),f"(x),并求出f'(x)及f"(x)为0和不存在 的点 3.列表判别增减及凹凸区间，求出极值和拐点； 4.求曲线的新近线 5.确定某些特殊点，描绘函数图形 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数y=f(x)图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域、 与坐标轴的交点 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求曲线的渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 周期性、奇偶性
例3.5.3描绘y=}x3-x2+2的图形 解：1)定义域为(-0，+∞)，无对称性及周期性 2)y'=x2-2x,y”=2x-2 令y=0,得x=0,2 令y”=0,得x=1 23x 3) (-0,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞) y y 2 43 23 -13 极大) (拐点) 极小) 4) y 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.5.3 描绘 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 2 , 2 y = x − x y = 2x − 2, 令 y = 0, 令 y = 0, 3) x y y y (−,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ) + 0 − − 0 + − − + + 2 3 4 (极大) (拐点) 3 2 (极小) 4) x y −1 3 3 2 2 0 −1 1 2 3 y O x
例3.5.4描绘曲线 y= (x-3)2 4(-1) 的图形 解：1)y= (x-3)2 4(x-1) 定义域为(-0,1)，(1，+o) 2)求关键点.原方程两边对x求导得 2(x-3)+4y-4y-4xy'=0 ① x-3-2y (x-3)(x+1) 2(x-1) 4(x-1)2 ①两边对x求导得 2+4y”-8y-4xy”=0 1-4y 2 y" 2(x-1)(x-1) 令y=0得x=-1,3; BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.5.4 描绘曲线 的图形. 解: 1) , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 定义域为 2) 求关键点. 2(x − 3) + 4y − 4y − 4xy = 0 2( 1) 3 2 − − − = x x y y 2 + 4y −8y − 4xy = 0 2( 1) 1 4 − − = x y y 令 y = 0得 x = −1, 3; 原方程两边对 x 求导得 ① ①两边对 x 求导得
3)判别曲线形态 x (-∞，-1)-1(-1,1)1 1,3)3 (3,+o) 0 无定义 -2 (极大) (极小) 4)求渐近线 limy=o,,x=1为铅直渐近线 x>1 (x-3)2 y= y=(x-3)(x+1) 2 4(x-1）3 4(x-1)2 (x-1)3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x (−,−1) −1 (−1,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ) y y y + − − + − − + + − 2 0 , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y , 4( 1) ( 3)( 1) 2 − − + = x x x y 3 ( 1) 2 − = x y 3) 判别曲线形态 0 0 (极大) (极小) 4) 求渐近线 lim , 1 = → y x 为铅直渐近线 无 定 义 x =1
又因 lim X→0X x] X→0∞ 4(x-1）4 -5x+95 lim x-04(x-1) 4 (x-3)2 y= 4(x-1) 1 为斜渐新近线 y=x-3x+1) 4(x-1)2 5)求特殊点 2 1 D" 2 4 4 x-1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 又因 x y x→ lim , 4 1 = 4 1 即 k = ) 4 1 b lim ( y x x = − → ] 4 1 4( 1) ( 3) lim[ 2 x x x x − − − = → 4( 1) 5 9 lim − − + = → x x x 4 5 = − 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 5) 求特殊点 x y 0 4 9 − 2 4 1 为斜渐近线 4 5 4 1 y = x − 2 4( 1) ( 3)( 1) − − + = x x x y 3 ( 1) 2 − = x y