第一章 第9为 闭区间上连渎岛教的性质 定理1最大值最小值定理 定理2有界性定理 定理3介值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第9节 定理1 最大值最小值定理 定理2 有界性定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 定理3 介值定理
定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值 即：设f(x)∈C[a,b],则351,52∈[a,b],使 f()=min,f(x) =(x)》 a≤x≤b f(52)=max f(x) a≤x≤b as b x 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值. 即: 设 f (x)C[a, b], 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb = ( ) max ( ) 2 f f x a xb = 或在闭区间内有间断 点 , x y a b y = f (x) O
例如， y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1, 0≤x<1 1,x=1 f)=1-x+3,1<xs2 也无最大值和最小值 2 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1
定理2（有界性定理）闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min x∈[a,b] f(x)y=f(x) xela,b] M 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 0a5152bx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 m M 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界. b x y a y = f (x) O
定理3（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C y=f(x) 证：作辅助函数 (x)=f(x)-C 则o(x)∈C[a,b],且 p(ap(b)=(A-C)(B-C)<0 使 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b), p(5)=0, 即 f(5)=C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理3( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a)(b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 C 使 至少有 x A b y a y = f (x) B O
推论1 设函数fx)在闭区间a,b]上连续，它在a， b]上的最大值为M,最小值为m,则对介于M与m 之间的任何一个数C,至少存在一点∈(a,b),使 得 3=C. 推论2 若函数fx)在闭区间a,b上连续，并且a) 与b)异号，则在开区间(a,b)中至少存在一点飞， 使得自=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论2 若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，并且f(a) 与f(b)异号，则在开区间(a，b)中至少存在一点ξ， 使得f(ξ)＝0. 推论1 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，它在[a， b]上的最大值为M，最小值为m，则对介于M与m 之间的任何一个数C，至少存在一点ξ∈(a，b)，使 得 f(ξ)＝C
例.证明方程x-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-20, 二分法 则()，1)内必有方程的根 取，1]的中点x=,f()<0 则(，)内必有方程的根，… 可用此法求近似根 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 内容小结目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O 1 x 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x = ( ) 0, 8 1 2 1 f = ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x = ( ) 0, 4 3 f ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1 可用此法求近似根. 二分法 + − + − 在区间 内至少有 则 则 4 3 2 1 内容小结
内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值 4.当f(af(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f(5)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在
思考与练习 1.任给一张面积为A的纸片如图)，证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片 提示：建立坐标系如图 则面积函数S(O)∈CL,B] 因S()=0,S(B)=A X 故由介值定理可知 30∈(a,),使S(0)= 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. O x y 则面积函数 S( )C[ , ] 因 S() = 0, S() = A 故由介值定理可知: ( , ), 0 . 2 ( ) 0 A 使 S = S( )
2.设f(x)∈C[0,2a,f(0)=f(2a,证明至少存在 一点5∈[0，a],使f(5)=f(5+a) 提示：令p(x)=f(x+a)-f(x) 则0(x)∈C[0,a],易证p(0)p(a)≤0 作业 P50(习题1-9)2；3； BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 习题课目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 2. 设 作业 P50(习题1－9） 2 ; 3; 一点 习题课
