第六章 共形映射
§6.1分式线性变换 1.分式线性变换的结构 形如 az b W= (ad-bc≠0) cz d 的映射称为分式线性变换，其中α，b,c,d为复常数. 逆变换 5= -dw+b ,[(-a)(-d)-cb≠0]， cw-a 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 as +B W= %+ ai-8=0u-g1ga5-y=0n
§6.1 分式线性变换 1.分式线性变换的结构 形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数. , ( 0) az b w ad bc cz d + = − + 逆变换 d , [( )( ) 0], w b z a d cb cw a − + = − − − − 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 ( 0), ( 0). z w z + + = − = − + +
az +b W= cz +d 其中ad-bc=(aδ-B)('6'-B'y）≠0. az b a bc-ad W= cz+dcdcztd)(c*0) 令A=0,B= bc-ad B w=4+ C C cz+d 它由下列三个变换复合而成 z'=cz+d: ”1 w=A+Bz
az b w cz d + = + 其中 ad bc − = − − ( )( ) 0. 它由下列三个变换复合而成 .( 0) ( ) az b a bc ad w c cz d c c cz d + − = = + + + , a bc ad A B c c − 令 = = . B w A cz d = + + ; 1 ; . z cz d z z w A Bz = + = = +
2.分式线性变换的性质 (1)一一对应性 在扩充复平面上，函数w= az +b 的导数除点--￠和 cz +d dw =∞以外处处存在，而且 ad -bc ≠0我们把z的 dz (cz+d)2 像看成是w=o,把=oo的像看成是 w=,得到分式线性 变换在扩充复平面上是 一对应的 (2)保圆性 定理6.1分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成 扩充w平面上的圆，即具有保圆性
2.分式线性变换的性质 (1)一一对应性 (2)保圆性 定理6.1 分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成 扩充w平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上,函数 的导数除点 和 z=∞以外处处存在，而且 .我们把 的 像看成是w=∞,把z=∞的像看成是 ,得到分式线性 变换在扩充复平面上是一一对应的. az b w cz d + = + d z c = − 2 d 0 d ( ) w ad bc z cz d − = + d z c = − a w c =
在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周 变换w=az+b是由=az（旋转与伸长)和w=+b (平移)复合而成的.而这些映射将原象平面内的圆 或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在 扩充复平面上具有保圆性 z平面上的圆的一般方程为 A(x2+)+Bx+Cy+D=0 z+2 2-2 X= 2 2i 4z+az+a+D=0,&=(B-C 经过映射w=二后 A+w+w+Dw=O】 在扩充复w平面上它仍是圆的方程
在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周. 变换w=az+b是由ζ=az（旋转与伸长）和w=ζ+b （平移）复合而成的.而这些映射将原象平面内的圆 或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在 扩充复平面上具有保圆性. z平面上的圆的一般方程为 2 2 A x y Bx Cy D ( ) 0 + + + + = , 2 2i z z z z x y + − = = Azz z z D + + + = 0, 1 ( i) 2 = − B C 经过映射 后 1 w z = A w w Dww + + + = 0. 在扩充复w平面上它仍是圆的方程
推论6.1 在分式线性变换下，圆C映射成圆C如果在 C内任取一点o,而点的象在C的内部，那么C的内 部就是映射到C的内部；如果z的象在C的外部，那 么C的内部就映射成C的外部. c' 证明：设z122为C内的 任意两点，用直线段 把这两点连接起来如 w=T(z) 果线段z12的像为圆弧 (或直线段)ww2,且w1 在C之外，w2在C之 (b) 内，那么弧ww2必与 但w*又是线段zz,上某一点的像 C交于一点w*,于是 因而就有两个不同的点被映射为 w*必是C上某一点的像.同一点这就与分式线性映射的一 一对应性相矛盾故推论成立
推论6.1 在分式线性变换下，圆C映射成圆C'.如果在 C内任取一点z0，而点z0的象在C'的内部，那么C的内 部就是映射到C'的内部；如果z0的象在C'的外部，那 么C的内部就映射成C'的外部. 证明： 设z1 ,z2为C内的 任意两点，用直线段 把这两点连接起来.如 果线段z1 z2的像为圆弧 (或直线段)w1w2，且w1 在C′之外，w2在C′之 内，那么弧w1w2必与 C′交于一点w *，于是 w *必是C上某一点的像. 但w *又是线段z1 z2上某一点的像， 因而就有两个不同的点被映射为 同一点.这就与分式线性映射的一 一对应性相矛盾.故推论成立
(3)保对称性 定义6.1设C为以z点为中心，R为半径的圆周如果点 z,z在从出发的射线上，且满足 2-22*-z0=R2, 则称z,*是关于圆周C的对称点如果C是直线，当以z和 z*为端点的线段被C平分时，则称z,z*关于直线C的对称 点 规定：无穷远点关于圆周的对称点是圆心 z,z*是关于圆周C的对 称点的充要条件是经 过z,z*的任何圆周与C 正交
(3)保对称性 定义6.1 设C为以z0点为中心，R为半径的圆周.如果点 z,z *在从z0出发的射线上，且满足 |z-z0 |·|z * -z0 |=R2 , 则称z,z *是关于圆周C的对称点.如果C是直线，当以z和 z *为端点的线段被C平分时，则称z,z *关于直线C的对称 点. 规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心. z,z*是关于圆周C的对 称点的充要条件是经 过z,z*的任何圆周Γ与C 正交
定理62设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在 分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像 曲线C的一对对称点！ 证明：设经过w与w*的任何一圆周T是经过z与z*的 圆周「由分式线性变换映射过来的.由于与C正交 因保角性（第三节中将介绍），所以T与C"也正交.因此 w与w*是一对关于C的对称点
定理6.2 设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在 分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像 曲线C'的一对对称点. 证明：设经过w与w*的任何一圆周Γ‘是经过z与z*的 圆周Γ由分式线性变换映射过来的.由于Γ与C正交， 因保角性(第三节中将介绍)，所以Γ'与C'也正交.因此 w与w*是一对关于C'的对称点
§6.2确定分式线性变换的条件 定理6.3 在z平面上任意给定3个不同点二122,23，在w平 面上也任意给定三个不同点w1,w2,w3,那么就存在分式 线性变换，将依次映射成wk(仁1,2,3)，且这种变换是 唯一的. 证明：设 az +b W= cz+d ad-bc≠0)， 且 azk +b Wk k=1,2,3. cz +d' (z-z1)(ad-bc) w-Wk= k=1,2, (cz+d)(czk+d) (Z;-z1)(ad-bc) W3一Wk= k=1,2 (cz;+d)(czk+d)
§6.2 确定分式线性变换的条件 定理6.3 在z平面上任意给定3个不同点z1 ,z2 ,z3，在w平 面上也任意给定三个不同点w1 ,w2 ,w3，那么就存在分式 线性变换，将zk依次映射成wk (k=1,2,3)，且这种变换是 唯一的. 证明：设 且 ( 0), az b w ad bc cz d + = − + , 1,2,3. k k k az b w k cz d + = = + ( )( ) , 1,2, ( )( ) k k k z z ad bc w w k cz d cz d − − − = = + + 3 3 3 ( )( ) , 1,2. ( )( ) k k k z z ad bc w w k cz d cz d − − − = = + +
w-.y一w2= 2-21.23-22 w-W2 W3-W 2-2223-21 求出w,即得所求分式线性变换 推论6.22132,23所在的圆C的象C是w1,w2,w,所在的圆 且如果C依z1→22→23的绕向与C依w1→w2→w3的绕向 相同时，则C的内部就映射成C的内部（相反时，C的 内部就映射成C的外部) C w=T(z) W
1 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 1 . w w z z w w z z w w w w z z z z − − − − = − − − − 求出w，即得所求分式线性变换. 推论6.2 z1 ,z2 ,z3所在的圆C的象C′是w1 ,w2 ,w3所在的圆. 且如果C依z1→z2→z3 的绕向与C′依w1→w2→w3的绕向 相同时，则C的内部就映射成C′的内部（相反时，C的 内部就映射成C′的外部）