第二章 解析玉数
§2.1复变函数的概念、 极限与连续性 1.复变函数的概念 定义2.1设E为一复数集若对E中的每一个复数z=x+iy 按照某种法则有确定的一个或几个复数w=u+v与 之对应，那么称复变数w是复变数的函数（简称复变 函数)，记作 w=f(z) 通常也称w=z)为定义在E上的复变函数，其中称为 定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合称为 z)的值域，记作)或G. 若的一个值对应着w的一个值，则称复变函数几z) 是单值的；若z的一个值对应着的两个或两个以上的 值，则称复变函数)是多值的
§2.1 复变函数的概念、极限与连续性 1. 复变函数的概念 定义2.1 设E为一复数集.若对E中的每一个复数 ,按照某种法则f有确定的一个或几个复数 与 之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变 函数），记作 . 通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为 定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合 称为 f(z)的值域，记作 f(E) 或G. z x y = + i w u v = +i w f z = ( ) 若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数 f(z) 是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的 值，则称复变函数 f(z)是多值的
复数=x+iy与w=u+iv分别对应实数对(x,y)和(u,v)， 对于函数w=z),u、v为x、y的二元实数函u(x,y)和 vx,y),所以w=z)又常写成w=u(x,y)十iv(x,y)。 函数w=z2+1.令=x+iy,w=u什iv,那么 w=u+i=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xy1, w=z2+1对应于两个实函数=x2-y2+1和=2xy. 对于复变函数w=z)即u+i=fx+iy),可以理解为 两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变 函数w=孔z)给出了z平面上的点集到w平面上的点集 E)或G)之间的一个对应关系： Vz∈E→w∈f(z)∈G 其中w称为z的像， z平面 w平面 z称为w的原像 w=f(z) u
复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对 (x,y)和 (u,v)， 对于函数w=f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和 v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)。 函数w=z 2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么 w=u+iv=(x+iy) 2+1=x 2 -y 2+1+2xyi, w=z 2+1对应于两个实函数 u=x 2 -y 2+1和v=2xy. 对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为 两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变 函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集 f(E)(或G)之间的一个对应关系： 其中w称为z的像， z称为w的原像. → z E w f z G ( )
例2.1函数w=二将z平面上的直线=1变成w平面上 的何种曲线？ 1= x-iy 解：z=x+iy,w=u+iv=-= x+iy x2+y2 X y u= x2+y’ x2+y2 平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 y u- +y2 1+y2 2+v2= 1+yy++y 之平面 w平面 =1l 1+y x=1 4
例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上 的何种曲线？ 1 w z = 解： 2 2 1 1 i i , i i x y z x y w u v z x y x y − = + = + = = = + + 2 2 2 2 , x y u v x y x y = = − + + z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 2 2 1 , 1 1 y u v y y = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) (1 ) 1 1 y u v y y u y + = + + + = = + 1 1 2 2 ( ) 2 4 u v − + =
设函数w=z)定义在E上，值域为G.若对于G中的 任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G 上确定了一个单值或多值函数，记作=f1(w),称为函 数w=孔z)的反函数 2.复变函数的极限 定义2.2设函数w=孔z)定义在z的去心邻域0<-z<r内， 若存在常数A,对于任意给定<0的，都存在一正数δ (0<心r),使得当0<z-zoK时，有 f(z)-A<6, 则称函数z)当z→z时的极限存在，常数A为其极限值 记作 lim f(z)=4 2→20 或f(z)→A(z→0)
设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的 任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G 上确定了一个单值或多值函数，记作z=f -1 (w)，称为函 数w=f(z)的反函数. 2.复变函数的极限 定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0 |<r内， 若存在常数A，对于任意给定<0的,都存在一正数 (0<r),使得当0<|z-z0 |< r时,有 , 则称函数f(z)当z→z0时的极限存在，常数A为其极限值. 记作 或 . f z A ( ) − 0 lim ( ) z z f z A → = 0 f z A z z ( ) ( ) → →
几何意义 当变点z进入z的充分小的去心邻域时，它的像点 孔)就落入A的一个预先给定的邻域内 之平面 w平面 定义中z→z的方式是任意的，也就是说，在z 的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z时，孔z) 都要趋向于同一个常数A
几何意义 当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它的像点 f(z) 就落入A的一个预先给定的邻域内. 定义中z→z0的方式是任意的，也就是说，z在z0 的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z) 都要趋向于同一个常数A
定理2.1设z=u(x,y)+iv(x,y),20xo+iyo,A=a+ib,则 limf(z)=A台，lim(x,y)=a, -→20 (x,y)-→(0%） lim v(x,y)=b. (x,y)→(xo,y0) 证明：先证必要性.limf(z)=A 即对ε>0，必36>0，当 0<2-0=x+iy)-(x+i%=Vx-)2+0y-%)2<8 时，有 f(=)-A=(u+iv)-(a+ib)=/(u-a)+(v-b)2<s lu-al≤Vu-a)2+(w-b)2,v-bl≤Vu-a2+(v-b2
定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0 ,A=a+ib，则 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( ) lim ( , ) , z z x y x y f z A u x y a → → = = 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) . x y x y v x y b → = 证明：先证必要性. 0 lim ( ) z z f z A → = 即对 0 ,必 0 ,当 2 2 0 0 0 0 0 0 ( i ) ( i ) ( ) ( ) − = + − + = − + − z z x y x y x x y y 时， 有 2 2 f z A u v a b ( ) ( i ) ( i ) − + − + = = − + − ( ) ( ) u a v b 2 2 2 2 u a v b − − − + − − + − ( ) ( ) , ( ) ( ) . u a v b u a v b
当0<Vx-x)2+(y-%)2<6时，有 lw-ad<&,v-bl<&成立 lim (x,y)→(xo,%)） x,月=a,吧x月=h 再证充分性 当0<-广+0-<时，有u-d<号p-小<气 因此f(z)-A=(w-a)+i(v-b)≤u-d+v-bl<ε. 所以，当0<2-20=Vx-x)2+(y-)2<6 有 f(z)-A<8 即 ()-4
当 0 ( ) ( ) − + − x x y y 0 0 2 2 时，有 u a v b − − , 成立. 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) , lim ( , ) . x y x y x y x y u x y a v x y b → → = = 再证充分性. 当 0 ( ) ( ) − + − x x y y 0 0 2 2 时，有 , . 2 2 u a v b − − 因此 f z A u a v b ( ) ( ) i( ) − − + − = + u a v b − − . 所以，当 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) − = − + − z z x x y y 有 f z A ( ) − 0 lim ( ) z z f z A → 即 =
定理2.2（极限运算法侧）若 lim f(z)=4,lim g(2)=B, z→z0 则 (1)lim(f(z)±g(z)=A±B, →20 (2)limf(z)·g(z)=AB; →20 (3)li f②- (B≠0) B →0g(z） 若两个函数z)和g(z)在点z处有极限，则其和、 差、积、商（要求分母不为零）在点z处的极限仍存在 并且极限值等于孔z)、g(z)在点z处的极限值的和、差、 积、商
定理2.2 (极限运算法则) 若 0 0 lim ( ) , lim ( ) , z z z z f z A g z B → → = = 0 0 0 (1) lim( ( ) ( )) ; (2) lim ( ) ( ) ; ( ) (3) lim ( 0). ( ) z z z z z z f z g z A B f z g z AB f z A B g z B → → → = = = 则 若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、 差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在， 并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、 积、商
例2.2判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存 在，试求出极限值： (0)f)= Re),2/e)= Re(z2) l lzl2 解：(1)方法一 因为fe)=lRe9sEl Z 所以Ve>0,取6=6，当0<z<时，总有 f(2)-0=f(z≤z<8 根据极限定义】 m()=0
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存 在，试求出极限值： Re( ) (1) ( ) ; z z f z z = 2 2 Re( ) (2) ( ) . z f z z = 解： (1)方法一 Re( ) ( ) z f z z z z 因为 = 所以 0 ，取 = ，当 0 z 时，总有 f z f z ( ) 0 ( ) − = z 根据极限定义 0 lim ( ) 0 z f z → =