北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第2节 常数项级数的审敛法

第2节 第十章 常款项级款的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第2节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十章

一、正项级数及其审敛法 00 若n≥0，则称∑4n 为正项级数 n=] 定理1正项级数∑4n收敛 部分和数列{sn} n= (n=1,2,…)有界 证：>”若∑n收敛，则{s,}收敛故有界 n=1 一”4n≥0，.部分和数列{sn}单调递增 又已知{sn}有界，故{s}收敛，从而∑n也收敛 n=] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法 若  0, un   n1 n u 定理 1 正项级数 收敛 部分和数列 有界. 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 则 收敛

定理2（比较审敛法） 设∑4，∑yn 都是正项级数！ 且un≤Vn(n=1,2,…) (1)如果级数∑y,收敛，则级数∑ 4n也收敛 n= n=l (2)如果级数∑un发散，则级数∑y,也发散 n=l n= 证：(1)由定理1可知，当级数∑y,收敛时，其部分和 数列必有界，于是有0，使得 0≤∑y≤M, k= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (比较审敛法) 设 且 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散. 都是正项级数, (n＝1,2，…) . 证：(1)由定理1可知，当级数 收敛时，其部分和 数列必有界，于是有M>0，使得

又4n≤y,(n=1,2,…),故 0s∑4s∑≤M, 因而级数 ∑4n的部分和数列有界，级数∑4，收敛 n=l n=] 00 (2)若级数∑4n发散，则级数∑，必发散. n=] n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 又un≤vn (n＝1,2，…)，故 因而级数 的部分和数列有界，级数 收敛． (2) 若级数 发散,则级数 必发散．

推论设∑，∑. 都是正项级数，并且4≤wm (心0，n2N,N为某一自然数) 00 (1)如果级数 ∑收敛，则级数∑4，也收敛 n=1 n= (2)如果级数∑n发散，则级数∑yn也发散. n= n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论 设 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 都是正项级数,并且un≤kvn ( k>0，n≥N，N为某一自然数 )

例10.2.3 的敛散性，其中常数p>0 解：当p≤1，因为对一切n∈N+, 又调和级数 发散，由比较审敛法可知p级数 发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例10.2.3 讨论 p -级数 1 1 1 1 1 234 p p p p n       的敛散性，其中常数 p > 0. 解: 当 p 1, 因为对一切 又调和级数   1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

当p>1,因为当n-1≤x≤n时， 故 y] in n>o∞ 故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故    n n p p x n 1 n d 1 1    n n p x 1 x d 1           1 1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数              1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n              1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n  故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1     p n 1 当                          1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 

例10.2.4判定级数 n(n+1) 的敛散性 解：因为 m(nD(+ n+1 (n=1,2,…） 含 dp 而级数 发散 2 根据比较审敛法可知，所给级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 判定级数 的敛散性. 解: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1   n n  n 而级数     2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例10.2.4

定理3（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑，∑n满足limn=,则有 n=1 n=1 n->oo Vn (1)当0≤1N时， a<1+1,即un<(+1vn BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n   则有 (2) 当 l = +∞ 证: (1)由极限定义,对 设两正项级数 满足 (1) 当 0 ≤ l < +∞

00 而级数∑收敛，根据比较审敛法的推论，知级数 n=l 4收敛 n= (2)按已知条件im2存在，如果级数∑4，收敛，则 n→00 n=] 由结论(1)必有∑yn收敛，但已知级数∑n发散， n= 因此级数∑wn 不可能收敛，即级数∑4，发散 n= n= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 而级数 收敛，根据比较审敛法的推论，知级数 收敛. (2)按已知条件 存在，如果级数 收敛，则 由结论(1)必有 收敛，但已知级数 发散， 因此级数 不可能收敛，即级数 发散．