北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第3节 全微分及其应用

第3节 第七章 全微分及其应用 一元函数y=f(x)的微分 Ay=A△x+O(△x) 、 应用 近似计算 dy=f'(x)△ 估计误差 本节内容： 一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 二、全微分在近似计算中的应用 应用 第3节 一元函数 y = f (x) 的微分 y  Ax  o(x) dy  f (x)x   近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分及其应用

一、全微分的定义 定义1如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y） 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z= AAx+BAv+o(p),p =v(Ax)2+(Av)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y》 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义 定义1 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )  z  f (x  x , y  y)  f (x, y)可表示成  z  Ax  B y  o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz  d f  Ax  By 若函数在域 D 内各点都可微, 2 2   (x)  (y) 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. AΔx  B Δy

当函数可微时： △-=lax+BA)+o(p小=0 △x-→0 △y→0 得 lim f(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x>0 4y-→0 即 函数z=f(化，y)在点（化，y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续，二 函数可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  z  Ax  B y  o( ) dz  d f  Ax  By (2) 偏导数连续 z  f (x  x, y  y)  f (x, y) lim( ) ( ) 0    Ax  By  o  下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x         当函数可微时 : 得 z y x      0 0 lim  0  f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1（函数可微分的必要条件） 如果函数z=x,y) 在点心，y)处可微分，则该函数在点化，y)处连续 证因为函数z=x,y)在点(x,y)可微分，则 △z=A△x+BAy+O(P), 从而 Iim△z=lim[A△x+B△y+o(p)]=0, △x→>0 △X-→0 △y-→0 △y-→0 根据连续函数的等价定义得，函数z=x,y)在点 (x,y)处连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1(函数可微分的必要条件) 如果函数z＝f(x，y) 在点(x，y)处可微分，则该函数在点(x，y)处连续． 根据连续函数的等价定义得，函数z＝f(x，y)在点 (x，y)处连续． 证 因为函数z＝f(x，y)在点(x，y)可微分，则  z  Ax  By  o(  ), 从而 lim lim[ ( )] 0. 0 0 0 0                z A x B y o  y x y x

定理2（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(，y)可微， 则该函数在该点的偏导数 ,e 必存在，且有 dz= y 8x 8y 证：因函数在点(x,y)可微，故△z=A△x+B△y+o(P) 令△y=0,得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(Ax) 0z Ox △x→0△X 同样可证 B,因此有dz= 0y Ox BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , y y z x x z z        d  z f ( , y) f ( , y) x   x z    同样可证 B, y z    y y z x x z z        d  证:因函数在点(x, y) 可微, 故  z  Ax  By  o(  ), 令y  0,  Ax  o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x  x x 因此有 x zx x     0 lim  A

注意：定理2的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微 刂 xy 反解：函数K:)0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=f(0,0)=0,但 △z-[fx(0,0)Ax+寸(0,0)Ay= △x△y (△x+(Ay) △x△y △x△y V(4x)2+(△)2/p(△x)2+(△y) 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 f (x, y)  易知 (0, 0)  (0, 0)  0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]   x   y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理2 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y      2 2 ( x) ( y) x y       2 2 ( x) ( y) x y        0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2    x y x y xy 0, 0 2 2 x  y 

定理3（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 Ox'Oy 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y] +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =f(x+Ax,y+Ay)Ax+fy(x,y+02Ay)Ay 00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  [ f (x  x, y  y) ] 定理3 (充分条件) y z x z     , 证：z  f (x  x, y  y)  f (x, y) (0 , 1 ) 1  2  f x y x  [ x ( , )  ]       f x y y y  f x (x 1x, y  y)x  y ( ,  2 )  f (x, y  y) [ f (x, y  y)  f (x, y)] f x y y [ y ( , )  ] 若函数 z  f (x, y)的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 1  2  lim 2 0 0 0       y x lim 0, 1 0 0       y x

△z=: =fx(x,y)△x+fy(x,y)Ay+E,△x+E2△y lim s=0,lim 52 =0 △x-→0 △x>0 △y-→0 △y-→0 注意到 5A6,y p ≤s,+2,故有 △正=fx(x,y)Ax+f(x,y)△y+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z  f x y x f x y y  x ( , )  y ( , ) z f x y x f x y y   x ( , )  y ( , ) 1 2 1 2        x  y 所以函数 z  f (x, y) (x, y)  x  y 1 2   在点 可微.       lim 2 0 0 0       y x lim 0, 1 0 0       y x 注意到 , 故有  o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 du= Ox 0y 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= 8x ady寸 ld2 记作dxu dyu d dxu,dvu,du称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dx u+dy u+d-u BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束     x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u  f (x, y,z) d u  习惯上把自变量的增量用微分表示, d u  记作 ux d 故有下述叠加原理 u u u u x y z d  d  d  d 称为偏微分. y y u d    z z u d   x  x u d   uy d uz d 的全微分为     y y u z z u    于是 u u u x y z d ,d ,d

例7.3.2计算函数z=arctan x+y 的全微分 1-xy 解： 0z x 1+x2 1+y2 .dz= 1 1+x2 例73.3计算函数u=x+sn)+e的全微分. 2 解：du=Idx+(2cos+ze)dy+yedz BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.3.2 计算函数 的全微分. xy x y z    1 arctan 解:    x z d . 1 1 d 1 1 d 2 2 y y x x z      例7.3.3 计算函数 的全微分. y yz u x e 2   sin  解: d u  1 d x  y y ( cos )d 2 2 1  y z yz  e d    y z , 1 1 2  x 2 1 1  y yz ze