北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 定积分 第5节 广义积分

第5节 第五章 才义积分 积分限有限 常义积分 被积函数有界 推广 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的广义积分 第5节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的广义积分 广义积分 广义积分 第五章

一、无穷限的广义积分 1 引例.曲线y= 和直线x=1及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积可记作 三 其含义可理解为 4m- -m-- BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 1 x y  A 1 x y O 一、无穷限的广义积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作    1 2 d x x A 其含义可理解为    b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim                  b b 1 lim 1 1

定义1.设f(x)∈C[a,+o),取b>a,若 m/dr 存在，则称此极限为(x)的无穷限广义积分，记作 f()dr=lim ["f()dx b- +00 这时称广义积分∫。f(x)dr收敛，如果上述极限不存在 就称广义积分”fx)dx发散. 类似地，若f(x)∈C(-o,b],则定义 ["f()dx=lim ["f(x)dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设 f (x)C[a,  ), 取b  a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(, b], 则定义

若f(x)∈C(-0,+∞)，则定义 ()dr-lim )dx+lim()dx a→-00 +00 (c为任意取定的常数) 只要有一个极限不存在，就称f(x)dx发散. 无穷限的广义积分也称为第一类广义积分 说明：上述定义中若出现∞一∞，并非不定型， 它表明该广义积分发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 若 f (x)C(,  ), 则定义 f x x c a a lim ( )d   f x x b b c lim ( )d    ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的广义积分也称为第一类广义积分. 说明: 上述定义中若出现    , 并非不定型 , 它表明该广义积分发散

若F(x)是f(x)的原函数，引入记号 F(+o)=lim F(x);F(-o)=lim F(x) X→十0 X>一00 则有类似牛-莱公式的计算表达式 f()dx=F() =F(+o)-F(a） 广d=F =F(b)-F(-∞) xd=F)十=F(+o)-F-o） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 引入记号 F( ) lim F(x) ; x   F( ) lim F(x) x   则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d    F(x)  F()  F(a) f x x b ( )d   F(x)  F(b)  F() f (x)dx     F(x)  F()  F()

dx 例5.5.2 计算广义积分 dx y=- 思考： +00 原积分发散！ 注意：对广义积分，只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”的性质否则会出现错误 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 例5.5.2 计算广义积分 解:    [arctan x] ) 2 π  ( 2 π   π x y 2 1 1 x y   O 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否则会出现错误 ,

sss讨r义秋分 (a>0)的收敛性 解：当p=1时有 s 当p≠1时有 。 p1 1-p a 因此，当p>1时，广义积分收敛，其值为 当p1时，广义积分发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.5.5 讨论广义积分 解:当 p =1 时有     a ln x           a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1   p a p 的收敛性.   , 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 ; 1 1   p a p 当 p≤1 时, 广义积分发散

二、无界函数的广义积分 引例：画线)y三与：轴，y箱和直袋x=引所同皮的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 A & =lim2(1-√8)=2 8→0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的广义积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为     1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x    lim 2(1 ) 0        2 x y 1  A x y O 

定义2.设f(x)∈C(a,b],而在点a的右邻域内无界 取&>0，若极限imf(x)d存在，则称此极限为函 E→0 数f(x)在(a,b]上的广义积分，记作 J心fx)d=lim6 _.f(x)dr 8→0+√a+8 这时称广义积分f(x)dx收敛：如果上述极限不存在， 就称广义积分f(x)dr发散 类似地，若f(x)∈C[a,b),而在b的左邻域内无界， 则定义 ["f(x)dx=lim ["f(x)dx 80 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 设 f (x)C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散. 类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 (a , b] 上的广义积分, 则定义 则称此极限为函 记作

若f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的 邻域内无界，则定义 (dx=x+dx lim [f(x)dx+lim f(x)dx 81-→0 82→0+C+82 无界函数的积分又称作第二类广义积分，无界点常称 为瑕点（奇点） 说明：若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点，则本质上是常义积分，而不是广义积分 例如， d-Dae BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 邻域内无界 , f x x c a ( )d  f x x b c ( )d   f x x c a lim ( )d 1 1 0        f x x b c lim ( )d 2 2 0        为瑕点(奇点) . 例如, 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分. 则定义