第七章 第2节 偏导数 一、 偏导数的定义及其计算方法 二、高阶偏导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目永上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第2节 一、 偏导数的定义及其计算方法 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第七章
一、偏导数的定义及其计算方法 引例：研究弦在点x,处的振动速度与加速度，就是 将振幅u(x,t)中的x固定于x处，求u(x),t)关于t的 一阶导数与二阶导数 u(xo,t) u(x,t） x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、偏导数的定义及其计算方法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x , t ) 0 O x x u 中的 x 固定于 x0处,求 一阶导数与二阶导数. u(x , t) ( , ) 0 u x t ( , ) 0 将振幅 u x t 关于 t 的
1.偏导数的定义 定义1设函数z=f(x,y)在点(xo,%)的某邻域内 极限 lim f(xo+△x,y0)-f(xo,y0】 △x-→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(，yo)对x 的偏导数，记为 0z of x(x0%)” fx(xo,y0)月 注意：∫(xoyo）=1im f(x0+△x,o)-f(xo,y0) △x-→0 △x f) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1 z f (x, y)在点 ( , ) ( , ) lim 0 0 0 f y f y x 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x 0 0 的偏导数，记为 ; ( , ) 0 0 x x y z ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x x 0 0x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) ( ) ( ) 0 0 f x x f x 0 x lim x x ( , ) ; 0 0 f x y x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 ( , ) d d 0 x x f x y x ( , ) 0 0 f x y 注意 x : 1.偏导数的定义
同样可定义对y的偏导数 f(xo,yo)=lim f(x0,0+△y)-f(xo,y0） △y-→>0 △y -以en 定义2若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y) 处对x或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数， 也简称为偏导数，记为 8x oJ) 影刘 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 0 ( , ) d d 0 y y f x y y 同样可定义对 y 的偏导数 lim 0 y ( , ) 0 0 f x y y 定义2 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) , , , x z x f x z 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 ,记为 f (x, y) x f (x, y) y ( , ) 0 f x ( , ) 0 f x y y y 0 0 y 处对 x或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
注意：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子 与分母之商。 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数=f(x,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 fx(x,y,z)lim f(x+Ax,y,=)-f(x,y,z) △x>0 △x f(xy,)=? (自己写出) f(x,y,z)=? BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 f (x, y,z) x 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim 0 x f ( , y, z) f ( , y , z) x x x f (x, y,z) ? y f (x, y,z) ? z x 偏导数定义为 (自己写出) 注意：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子 与分母之商
2.二元函数偏导数的几何意义 of Ox y-Yo -w= 是曲线 》发场处的线 y=Yo MoT,对x轴的斜率 (x0,y0 x=X0 y=yo 是曲线 =f(x,y) 在点M处的切线MoT,对y轴的 斜率 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y 是曲线 0 ( , ) x x z f x y M0Ty 在点 M0处的切线 对 x 轴的斜率.在点M0处的切线 斜率. 是曲线 0x Ty y x z O Tx 0y 对 y 轴的 M0 ( , ) 0 0 x y 2.二元函数偏导数的几何意义
3.偏导数的计算方法 在多元函数偏导数定义中，实际上是只有一个自变量 变化，而其他自变量视为常数，所以，计算多元函数 的偏导数相当于求一元函数的导数， 例如： 计算z=x,y)的偏导数f(x,y),只要把y暂时看做常 量而对x求导数即可； 类似地，求fx,y)时，只需把x暂时看做常量而对y求 导数. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 在多元函数偏导数定义中，实际上是只有一个自变量 变化，而其他自变量视为常数，所以，计算多元函数 的偏导数相当于求一元函数的导数． 3.偏导数的计算方法 例如： 计算z＝f(x，y)的偏导数fx(x，y)，只要把y暂时看做常 量而对x求导数即可； 类似地，求fy(x，y)时，只需把x暂时看做常量而对y求 导数．
例72.4已知r=Vx2+y2+z2证明： 2x 解： Or 2Vx2+y2+22 Or y g x2+y2+z2 =1 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.2.4 已知 2 2 2 r x y z 证明： 解: x r y r 2 2 2 2 x y z 2x r x r z z r , r y 1. 2 2 2 z r y r x r 1. 2 2 2 2 2 2 2 r x y z z r y r x r
二、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 De 0z Ox =f(x,y), f(x,y) 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导 数 小 =了xx,功 =(x,y〉 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z ( ) y z x ( ) x z y ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y y y 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z f (x, y); xx x y z 2 f (x, y) x y ( , ); 2 f x y y x z y x x 数:
类似可以定义更高阶的偏导数 例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为 a 32 8x dx z=f(x,y)关于x的n-1阶偏导数，再关于y的一阶 偏导数为 0"z @x"-8y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 3 3 2 2 ( ) x z x z x z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ( ) y x y z n n 1 偏导数为 1 1 n n x z