北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第9章 曲线积分与曲面积分 第6节 高斯公式与斯托克斯公式

第6节 第九章 高斯公式与斯花克斯公式 高斯公式 二、斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第6节 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 高斯公式与斯托克斯公式 第九章

一、高斯公式 定理1设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面∑所围成，Σ的方向取外侧，函数P,O,R在 斯，CF 2上有一阶连续偏导数，则有 dv=fPdyd=+Qdzdx+Rdxdy 。 2 dV=(Pcosa+QcosB+Rcosy)dS. 这里是2的整个边界曲面的外侧，cosa,cos,cosy 是Σ上点(x,y,)处的法向量的方向余弦.公式叫做 高斯公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 高斯 返回 束

目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯公式 定理1 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有一阶连续偏导数 ,      Pd y d z Qd z d x Rdxd y 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 则有 高斯  的方向取外侧, 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ 是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦．公式叫做 高斯公式．

证明：设2：1(x,y)≤z(x,)≤2(x,),(x,)∈Dx 称为XY-型区域，∑=马1U2U3,:2=1(xy), 2:2=2(x,y),则 .ar-{w =jDn{Rx,y2a,y - R(x,y,=(x,y))dxdy Rdxdy=()Rdxdy R(dxdy-dxd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束  2  3 1 z y x Dxy O  R(x, y, )  R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z  z x y 证明: 设 ,   1  2  3   Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd xd y 2 1 ( , ) ( , ) d d d x y z x y D z x y R z x y z                2 d R V z       1    3 Rd xd y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2  z  z x y 则 R(x, y, )dxdy   Dx y   Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y

所以 2cr-i.Nx31rd 若2不是Y-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个Y-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 v-fPdvd m.8影ar-.e:dx 三式相加，即得所证Gauss公式： 号 )dv =∯Pdyd=+-Od=dx+-Rdxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 若环

目录 上页 下页 返回 结束 所以 d R V z     R x y z x y ( , , )d d .    若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 d Q V y          Pd y d z Qd z d x Rd xdy  d P Q R V x y z              Qd z d x d P V x        Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

例9.6.1用高斯公式计算月(x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用高斯公式，得 原式=j川。y-z)dxdydz 利用质心公式，注意y=0,= (0-川2 dxdyd:-= 9π 2 思考：若改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面（取外侧，如何计算？ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x 3 z 1 y 例9.6.1 用高斯公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用高斯公式, 得 原式 = P  ( y  z)x, Q  0, R  x  y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意 2 3 y  0,z  O

例9.6.4利用高斯公式计算曲面积分 I=(x2cosa+y2cosB+22cosy)ds 其中∑为锥面x2+y2=2介于z=0及z=h 之间部分的下侧，C,B,y为法向量的方向角 解：作辅助面 2r2=h,(x,y)eDyx2+y2≤h2,取上侧 记∑，所围区域为2，则 在马1上a=B=5,y=0 cos c+cos)ds =2川++)dr-∬ h2dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上项 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  h z y x O 例9.6.4 利用高斯公式计算曲面积分 其中 为锥面 2 2 2 x  y  z 解: 作辅助面 : , 1  z  h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h  xy   取上侧 1 I (      1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2      , 0 2 π 在 1上      介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , ,  为法向量的方向角. 1 记 , 所围区域为 ,则 2 ( )d x y z V      h x y Dx y d d 2   1 h

I=2∬c+y+a)ar-jp h2dxdy 1 利用质心公式，注意x=y=0 =2川。dV-πh 先二后 =2.2元：2d:-πh=-πh 思考：计算曲面积分(2+x)dydz-dxdy :z=(2+y2)介于平面=0及：=2 之间部分的下侧 提示：作取上侧的辅助面∑z=2, (x,y)eDy:x2+y2≤4 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y x z 2 y x z 2 O I x y z V 2 ( )d      利用质心公式, 注意 x  y  0 2 dz V    4  π h h x y Dx y d d 2   4 2 1   π h   h z 0 2 2  π z dz 4  π h 思考: 计算曲面积分 提示: 作取上侧的辅助面 ( )d d d d , 2     z x y z z x y 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. : 2,  1 z  ( , ) : 4 2 2 x y  Dxy x  y  2  h z y x O 1 h 先二后一

二、斯托克斯公式 定理2设T为分段光滑的空间有向闭曲线，是以T 为边界的分片光滑的有向曲面，T的正向与∑的侧符 合右手规则，函数P(x,y,),Q(x,y,),R(x,y ,)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连 续偏导数，则有 迟 dyd=+ OR dzdx+ dxdy -[Pdx+Ody+Rdz. 公式叫做斯托克斯公式. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、斯托克斯公式 定理2 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ 为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符 合右手规则，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y ，z)在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连 续偏导数，则有 d d d d d d R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y                                      P x Q y R z d d d .      公式叫做斯托克斯公式．

例9.6.7 利用斯托克斯公式计算曲面积分 I=重dx+xdy+yd:,其中T为平面x十y十=1被 三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向 与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 解：按斯托克斯公式，有 dydz dzdx dxd y 1=重dx+xdy+yd:=∬g 2 X y =八dydz+dzdx+dxdy=3八ndo A= -2 i1= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.6.7 利用斯托克斯公式计算曲面积分 ，其中Γ为平面x＋y＋z＝1被 三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向 与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则． 解:按斯托克斯公式，有 I z x x y y z d d d      d d d d d d d d d y z z x x y I z x x y y z x y z z x y               d d d d d d 3 d . Dxy y z z x x y         1 3 . 2 2 A I   

三、空间曲线积分与路径无关的条件 定理3设空间开区域G是一空间线单连通区域，函 数P(x,y,),Qx,y,z),Rx,y,)在G内具有一 阶连续偏导数，则空间曲线积分 Pdx+Qdy+Rdz 在G内与路径无关的充分必要条件是等式 OR 80 80 OP Ox" Ex 在G内恒成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上项 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线积分与路径无关的条件 定理3 设空间开区域G是一空间线单连通区域，函 数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在G内具有一 阶连续偏导数，则空间曲线积分 , , R Q P R Q P y z z x x y                P x Q y R z d d d     在G内恒成立. 在G内与路径无关的充分必要条件是等式