第1为 第八章 二重积分的桡念与性质 一、两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 第1节 一、两个实例 二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第八章
一、两个实例 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似，求和，取极限” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、两个实例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z f (x, y) 0 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似，求和，取极限” D z f (x, y)
(1)分割” 用任意曲线网分D为个小闭区域 2=f(x,y) △O1,△O2,…,△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5,n,) 小曲顶柱体 (2)近似” (5,7) △o 在每个△o,中任取一点(5，n,),则 △，≈f(5,7,)△o,(i=1,2,…,n (3)“求和” V=∑AY≈∑/5，n)Ao BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 D z f (x, y) (1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个小闭区域 n , , , 1 2 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 (2)“近似” 在每个 i ( , ), i i (3)“求和” n i V Vi 1 n i i i i f 1 ( , ) ( , ) i i f V f ( , ) (i 1, 2, , n) i i i i 中任取一点 则 小曲顶柱体 i ( , ) i i
(4)“取极限” 定义△o,的直径为 (Ao,)=max{PP∥P.P∈△o} 令2=max{2(Ao,)} ≤i≤n z=f(x,y) 7=lm∑5，n)Ag, f(51,7) (5,7,)△o BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 (4)“取极限” 定义i的直径为 ( i) max P1P2 P1 ,P2 i 令 max ( ) 1 i i n n i i i i V f 1 0 lim ( , ) z f (x, y) ( , ) i i f i ( , ) i i
2.平面薄板的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有闭区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)≡4（常数），设D的面积为o,则 M=u.o 若4(x,y)非常数，仍可用 分割，近似，求和，取极限” 解决， 1)分割” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,…,△on 相应把薄片也分为小块 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄板的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有闭区域 D , 度为 (x, y)C,计算该薄片的质量 M . 若 (x, y) (常数), 设D 的面积为 , 则 M 若 (x, y)非常数 , 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小块 . D y O x
2)近似” 在每个△o,中任取一点(5，n,),则第i小块的质量 △M,≈4(5,7，)Ao(i=1,2,…,n) 3)求和” M=∑AM,≈∑h(5,n)Ag 4)取极限” 令元=max{(Ao,)} (5,7) △o l<i<n M lim →0 ∑4(5，n,)Ao, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 y x 2)“近似” 在每个 i中任取一点 ( , ), i i 3)“求和” n i M Mi 1 ( , ) . 1 n i i i i 4)“取极限” max ( ) 1 i i n 令 lim ( , ) . 1 0 n i M i i i i ( , ) i i M ( , ) (i 1,2, ,n) i i i i 则第 i 小块的质量 O
两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割，近似，求和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V=lim∑f(5,7,)Ao 2→0 i=1 平面薄片的质量： M=lim 20 ∑4(5,7，)Ao i=l BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割，近似，求和，取极限” lim ( , ) . 1 0 n i i i i V f n i M i i i 1 0 lim ( , ) 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小闭区域△o,(i=1,2,…,n), 任取一点(5,7，)∈△o,若存在一个常数I,使 1=1m∑f(5,n,)A,j∬2fx,)dc 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 被积表达式 x,y称为积分变量 积分区域 被积函数 面积元素 BELJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 (i 1, 2 , , n), i 任取一点 ( , ) , i i i 若存在一个常数 I , 使 n i i i i I f 1 0 lim ( , ) 则称 f (x, y) 可积 , D f (x, y)d 称I 为 f (x, y)在D上的二重积分. x , y称为积分变量 积分和 D f (x, y)d 积分区域 被积函数 被积表达式 面积元素 记作 是定义在有界闭区域 D上的有界函数
如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△o,=△x,△y,因此面积 元素do也常记作dxdy,二重积分记作 f()dxdy 实例1中曲顶柱体体积： V=f(xy)d=f(x)dxdy 实例2中平面薄板的质量： M=u(x)d=p()dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 D V f (x, y)d 实例1中曲顶柱体体积: D M (x, y)d 实例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y)在D上可积, 元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y , i i i 分区域 D , 这时 x y 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 D f (x, y)d x d y D (x, y)d x d y y O x
二重积分存在定理： 定理1.若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则 f(x,y)在D上可积 定理2.若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可 积 例如，f(x,y)= 上二重积分存在；但f(x,y)= 在D上O 1 x x-V 二重积分不存在 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结
目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 f (x, y) f (x, y) 定理2. f (x, y) 则 f (x, y)在D上可 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, x y x y f x y 2 2 ( , ) 在 D : 0 x 1 0 y 1 上二重积分存在 ; x y f x y 1 但 ( , ) 在D 上 二重积分不存在 . y 1 x 1 D O