北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 定积分 第6节 定积分在几何学上的应用

第6为 第五章 定积分多在儿何学上的应用 一、 定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、求体积 四、求平面曲线的弧长 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 定积分的元素法 三、求体积 第6节 二、 平面图形的面积 四、 求平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第五章

一、 定积分的元素法 需要用定积分来表示的量具有以下共同特征： (1)U取决于一个变量（记作x)的变化区间[a,b]和定义 在该区间上的一个函数x): (2)U对于区间[a,b]具有可加性. (3)在区间a,b]的子区间x,x十dx上对应的部分 量△U能近似地表示fx)与dx的乘积，即△U≈x)dx. 通常把△U的近似值x)dx称为量U的元素（或微元）， 且记作dUU U-U-"r(dx. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的元素法 需要用定积分来表示的量U具有以下共同特征： (1)U取决于一个变量(记作x)的变化区间[a，b]和定义 在该区间上的一个函数f(x)； (2)U对于区间[a，b]具有可加性． (3)在区间[a，b]的子区间[x，x＋dx]上对应的部分 量ΔU能近似地表示f(x)与dx的乘积，即ΔU≈f(x)dx. 通常把ΔU的近似值f(x)dx称为量U的元素(或微元)， 且记作dU d ( )d .     b a b a U U f x x

二、平面图形的面积 1.直角坐标情形 yt y=f(x) 设曲线y=f(x)(仑0)与直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形面积为A,则 O axb x x+dx dA=f(x)dx yy=(x)y=f(x) A=f()dx 右下图所示图形面积为 4=f(x)-f(x)dx axx+dx b x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y a b x ( ) 2 ( ) y  f x 1 y  f x O 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA  f (x)dx A f x x b a ( )d   边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 A f x f x x b a ( ) ( ) d   1  2 O a b x y y  f (x) x  dx x x x  d x

例5.6.1计算两条抛物线y2=x,y=x2在第一象限所围 图形的面积 得交点(0,0)，(1,1) A=0(x-x2)d x+dx 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.1 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) d A ( x x )dx 2   3 1     1 0 A x y O y  x 2 2 y  x x x  d x (1,1) 1

例5.62计算抛物线y2=x与直线y=x-2所围图形 的面积 解：由 =x 得交点 y+dy (1,-1),(4,2) 为简便计算，选取y作积分变量， y=x-2 则有 .A=(y+2)-y]d -6>*2y-小=8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O y  x 2 y  x  2 x y 例5.6.2 计算抛物线 y  x 2 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (1, 1) , (4, 2) (4,2) . 2 9  y  x  2 所围图形 (1,1) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有      2 1 2 A [( y 2) y ]dy y y  d y

X- 例5.6.3求椭圆 =1所围图形的面积 o< 解：利用对称性，有dA=ydx 4=4ydx 利用椭圆的参数方程 xx+dya x [x =acost y=bsint (0≤t≤2π) 应用定积分换元法得 A=4bsint(-asint)dt =4absin2tdr =4ab}子=元ab 当a=b时得圆面积公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 a b 例5.6.3 求椭圆 解: 利用对称性 , d A  y dx 所围图形的面积. 有   a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2π) sin cos     t y b t x a t 应用定积分换元法得   2 π 0 2 4ab sin t dt  4ab 2 1  2 π   π ab 当 a = b 时得圆面积公式 x x  d x x y O

一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值1,2 a (t1对应x=a) (t对应x=b) 则曲边梯形面积4=」v()o'(0d BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积

2.极坐标情形 设p(0)∈C[a,p],p(0)≥0，求由曲线p=p(0)及 射线0=α，0=B围成的曲边扇形的面积 在区间[，B]上任取小区间[0,0+d0] 侧对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d4-ao =0(0) 所求曲边扇形的面积为 A-jSoi(Od0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 .  ()   d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A  所求曲边扇形的面积为      ( )d 2 1 2  A   O x

例5.6.5计算阿基米德螺线p=a0(a>0)对应0从0变 到2π所围图形面积 解：A=02a0户d0 2L4, x 引9] 4元2a2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.5 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 解:  d (  ) d 2 1 2 a   2π 0 A 2 2 a        3 3 1  0 2π 3 2 π 3 4  a 到 2 所围图形面积 . 2 π a O x

例5.6.6计算心形线p=a(1+cos0)(a>0)与圆p=3acos0 所围图形共同部分的面积. 心形线 解：求山内图形的父点为：以空晋C s=2S-5iau+eow0ya0+5aomord0 -o〔0+2s6+cos22d0:a 1+cos2 _do 2 2 5 B o=3acos 0 a p=a(1+cosθ) 4 2a 3a x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.6 计算心形线 与圆 所围图形共同部分的面积. 解: 求出两图形的交点为：            2 3 3 2 0 2 2 (3 cos ) d 2 1 (1 cos ) d 2 1 2    a   a   S  2S1         d 2 1 cos 2 )d 9 2 1 cos 2 (1 2cos 2 3 3 2 0 2         a a 心形线 ) 3 , 2 3 ), ( 3 , 2 3 (    a C a B