第5节 第四章 有理蓝数和可化为有理数的积分 基本积分法：直接积分法；换元积分法； 分部积分法 求导 初等函数 初等函数 积分 本节内容 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、几类简单无理函数的积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 • 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 有理函数和可化为有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ; 三、几类简单无理函数的积分
一、有理函数的积分 有理函数： R(x)= P,(x) a0x+a4x”-++an 2n(x) box++bm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式+真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 A Mx+N (k∈N*,p2-4q<0) (x-a)k’(x2+px+q} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x m n n n n a x a x a 0 1 1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 ( , 4 0) 2 k N p q 若干部分分式之和
定理（分解定理） 设2mx)=b(x-a)a.…(x-byx2+ px十q}…(x2+x十s4,其中p2-4q<0,2-4s<0,则 有理真分式 可以爱等成如下最简分式（也称部分 分式)之和. P,(x) A A Aa +…十 2m(x) (x-a)"(x-a)"- x-a B B, (x-6)(x-b) x-b Mx+N M,x+N2 (x2+px+q)2 (x2+px+9)▣t1 Mx+N2+ x2+px+9 Rx+S Rx+S, Rx+S 十··十 (x2+rx+s)" (x2++s)4- x2+rx+s BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) Q x P x m n x b B x b B x b B x a A x a A x a A 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 定理(分解定理) 设 Qm (x)＝b(x－a) α…(x－b) β (x 2＋ px＋q) λ…(x 2＋rx＋s) μ，其中p 2－4q<0，r 2－4s<0，则 有理真分式 可以分解成如下最简分式(也称部分 分式)之和． ( ) ( ) Q x P x m n . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x rx s R x S x rx s R x S x rx s R x S x px q M x N x px q M x N x px q M x N
例.将下列真分式分解为部分分式： 1 (0) x+3 x(x-1)2 (2) 3 x2-5x+6 1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 1 x-(x-1) =1 1 x(x-1)2-xx-12(x-12x(x-1) 1x-(x-1) (x-12x(x-1) 1.1 (x-1)2x-1x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 x x x x 2 ( 1) 1 x ( 1) 1 x x 2 ( 1) 1 x ( 1) x x 2 ( 1) 1 x 1 1 x x 1 x (x 1) x (x 1)
(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6 (x-2)(x-3)x-2x-3 ∴A=(x-2)原式 x+3 x=2x-3x=2=-5 B=(x-3)原式 x+3 =3x-2x=3=6 故 原式=-5+6 x-2x-3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法 5 6 3 2 x x x ( 2)( 3) 3 x x x 2 x A 3 x B A (x 2)原式 x 2 3 2 3 x x x 5 B (x 3)原式 x 3 2 3 3 x x x 6 故 2 5 x 原式 3 6 x
(3)混合法 A Bx+C (1+2x)1+x2) 1+2x 1+x2 4 A=(1+2x)·原 x= 15 分别令x=0,1代入等式两端 4 2 1= +C B -5 1-6 4 B+C 15 2 5 原式= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法 (1 2 )(1 ) 1 2 x x x A 1 2 2 1 x Bx C A (1 2x)原式 2 1 x 5 4 C 5 4 1 15 2 4 6 1 B C 5 2 B 5 1 C 原式 = 1 2x 4 5 1 2 1 2 1 x x
四种典型部分分式的积分： 1j,。ds=n-+C 2j.a A x= -Xx-a+C(k>1为正整数) Mx+N-dx (x2+px+q) =2x+p 变分子为 当(2x+p)+V- 4.) Mx+N x 再分项积分 (p2-4g1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分: Aln x a C C (k 1为正整数) k x a A k 1 (1 )( ) x x a A 1. d x x a A k d ( ) 2. x x px q M x N 3. d 2 x x px q M x N k d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M 2 M p N 再分项积分 x p x px q 2 ( ) 2
dx 例4.5.4求 020+ 解：己 2s] 4 2x =-打2 ()garctamx-C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.5.4 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 x x 5 1 1 2x 4 2 1 2 x x 2 1 1 x x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 ln(1 ) 5 1 2 x arctan x C 5 1
说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行， 但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 5*7-2 dx. 乐小 2x2+5 x+、+5x2+4 dx dx --+ X arctan arctan x C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x x 例4.5.5 求 x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3 x x x x d 5 4 2 5 4 2 2 5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 x x 2 arctan 2 1 x arctan x C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法
二、三角函数有理式的积分 设R(sinx,cosx)表示三角函数有理式，则 R(sinx,cosx)dx 令t=tan3 万能代换 (参考下页例4.5.6 t的有理函数的积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二 、三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式 , R(sin x, cos x)dx 令 2 tan x t 万能代换 (参考下页例4.5.6) t 的有理函数的积分 则