第6节 第七章 微分法在几何上的应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 第6节 二、曲面的切平面与法线 微分法在几何上的应用 第七章
一、 空间曲线的切线与法平面 定义设M,是空间曲线T上的一个定点,M是T上的 个动点,过M,M俩点作割线MM,当动点沿曲线T 趋向于M,时,割线M,M的极限位置MI称为曲线T在点 M,处的切线;过点M,且与切线垂直的平面,称为曲线 T在点M,处的法平面 设空间曲线的参数方程为: x=p(t),y=W(t),2=0(t), 其中三个函数都可导,且导数不同 时为零 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 定义 设M0是空间曲线Γ上的一个定点,M是Γ上的一 个动点,过M0,M两点作割线M0M,当动点M沿曲线Γ 趋向于M0时,割线M0M的极限位置M0T称为曲线Γ在点 M0处的切线;过点M0且与切线垂直的平面,称为曲线 Γ在点M0处的法平面. 设空间曲线Γ的参数方程为: 其中三个函数都可导,且导数不同 时为零. x (t), y (t), z (t), T M0 M x y z O
设T上的点M(x,yo,2o)对应t=to,参数t=t对应曲 T上定点Mxo,0,o),参数1=十△对应曲线T上动 点M(x十△x,十△y,0十△),则割线MM的方程是 x-x=y-=-0 △X y △ 切线方程 X-0三 y-y0- 2-20 p'(o)y'(o)0'(o) 法平面方程 0(o)x-xo)+Ψ'(t0)(y-y0)+0'(t0)2-2o)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 x x y y z z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t ( , , ) , 0 0 0 0 0 设上的点 M x y z 对应t t Γ上定点M0(x0,y0,z0),参数t=t0+Δt对应曲线Γ上动 点M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz),则割线M0M的方程是 ( )( ) 0 0 t x x ( )( ) 0 0 t y y (t0 )(z z0 ) 0 法平面方程 切线方程 T M0 M x y z O . 0 0 0 z z z y y y x x x 参数t=t0对应曲
例7.6.2求曲线x=t,y=t,z=t3在点(1,1,1)处的切线 及法平面方程 解:x=1,y=21,z=32,点(1,1,1)对应于1=1, 故切向量为T=(1,2,3) 思考:光滑曲线 因此所求切线方程为 T:了y=p(x) z=w(x) x-1y-1= z-1 2 3 的切向量有何特点? 法平面方程为 X=X 答: T:y=o(x) (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0 z=v(x) 即 x+2y+3z=6 切向量T=(1,0',w) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.6.2 求曲线 2 3 x t, y t , z t 在点 (1, 1, 1) 处的切线 及法平面方程. 1, 2 , 3 , 2 解:x y t z t 点(1, 1, 1) 对应于t 1, 故切向量为 T (1, 2, 3) 因此所求切线方程为 1 1 1 x y z 1 2 3 法平面方程为 (x 1) 2 ( y 1) 3(z 1) 0 即 x 2y 3z 6 ( ) ( ) : z x y x 思考: 光滑曲线 的切向量有何特点? T (1, ,) 答: ( ) : ( ) z x y x x x 切向量
二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面卫:F(x,y,z)=0 通过其上定点M(x,,o)任意引一条光滑曲线 T:x=p(t),y=W(t),2=o(t),设t=t0对应点M,且 0'(to),w'(to),o'(t)不全为0.则T在 点M,的切向量为 T=('(to),w'(to),@'(to)) 切线方程为 X-0=Y-0=三-20 p'(to)v'(to) o'(to) 下面证明:∑上过点M,的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上.此平面称为∑在该点的切平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 : F(x, y,z) 0 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 0 设 t t 对应点 M0 , ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 切线方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x 不全为0 . 则 在 : x (t), y (t), z (t) , 且 点 M 0的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 0的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T t t t M0 T
证:T:x=0(t),y=w(t),2=o(t)在∑上 F(p(t),w(t),0(t)≡0 两边在t=to处求导,注意t=t,对应点M 得 Fx(x0,y0,20)0'(t0)+Fy(x0,0,20)V'(t0) +F(x0,Jy0,20)o'(t0)=0 令T=(0'(to),Ψ'(to),0'(to)》 n=(Fx(x0,Jy0,20),Fy(x0,y0,20),F2(x0,J0,20) 切向量T上n 由于曲线厂的任意性,表明这些切线都在以为法向量 的平面上,从而切平面存在 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 M0 T 证: : x (t), y (t), z (t)在 上, F( (t), (t), (t)) 0 , 两边在 t t0 处求导 , 0 M0 注意t t 对应点 ( ) 0 t 0 ( , , ) 0 0 0 F x y z x ( , , ) 0 0 0 F x y z y ( , , ) 0 0 0 F x y z z ( ) 0 t ( ) 0 得 t ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T t t t ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z x y z 令 切向量 T n 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 n 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . n
曲面∑在点M的法向量: n=(Fx(x0,y0,20),Fy(x0,y0,20),F.(x0,0,20) 切平面方程 Fx(x0,y0,20(x-x0)+y(x0,0,20)(y-y0) +F-(x0,0,20)(2-20)=0 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面∑在点M,的法线. 法线方程 x-X0 y-Yo z-20 Fx(x0,y0,20)Fy(x0,y0,20) F2(x0,y0,20) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 日录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z x x x 曲面 在点 M0 的法向量: 法线方程 0 0 0 x x y y z z ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z y y y ( , , )( ) 0 Fz x0 y0 z0 z z0 切平面方程 ( , , ) 0 0 0 F x y z x ( , , ) 0 0 0 F x y z y ( , , ) 0 0 0 F x y z z ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z x y z 过M0点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M0 的法线. M0 T n
例7.6.5求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切 平面及法线方程 解:令 F(x,y,z)=x2+y2+22-14 法向量 n=(2x,2y,2z) n(1,2.3)=(2,4,6) 所以球面在点(1,2,3)处有: 切平面方程 2(x-1)+4(y-2)+6(2-3)=0 即 x+2y+3z-14=0 法线方程 x-1y-22-3 2 3 即 (可见法线经过原点,即球心) 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.6.5 求球面 14 2 2 2 x y z 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 ( , , ) 14 2 2 2 F x y z x y z 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2(x 1) 即 x 2y 3z 14 0 法线方程 1 2 3 x y z 4( y 2) 6(z 3) 0 1 2 3 法向量 n (2 x, 2 y, 2 z) (2, 4, 6) (1, 2,3) n 即 1 2 3 x y z (可见法线经过原点,即球心)
内容小结 1.空间曲线的切线与法平面 x=p(t) 空间光滑曲线 r:y=w(t) z=@(t) 切向量 T=(0'(t0),y'(to),0'(t0) 切线方程 x-x0=y-y0= 2-20 p'(to)v'(to) @'(to) 法平面方程 (to)(x-xo)+'(to)(y-Yo)+@'(to)(=-z0)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 0 0 0 x x y y z z 法平面方程 ( )( ) 0 0 t x x ( ) ( ) ( ) : z t y t x t 空间光滑曲线 切向量 内容小结 ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t ( )( ) 0 0 t y y ( )( ) 0 t0 z z0 ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T t t t
2.曲面的切平面与法线 空间光滑曲面∑:F(x,y,z)=0 曲面∑在点M(x,y,二)的法向量 n=(F(x0,y0,0),F,(x0,y0,20),F(x0,0,20) 切平面方程 Fx(x0,0,0)(x-x0)+Fy(x0,y0,20)(y-0) +F(x0,y0,20)(2-20)=0 法线方程 x-x0 y-Yo 2-20 Fx(x0,y0,20) Fv(x0,y0,20)F≥(x0,J0,20) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 : F(x, y,z) 0 曲面 在点 法线方程 ( , , ) 0 0 0 0 F x y z x x x ( , , ) 0 0 0 0 F x y z y y y ( , , ) 0 0 0 0 F x y z z z z ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z x x F x y z y y x y M0 (x0 , y0 ,z0 ) 的法向量 ( , , )( ) 0 Fz x0 y0 z0 z z0 切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z x y z