北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第5节 傅里叶级数

第5节 第十章 停里叶级款 以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2的周期函数的傅里叶级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 第十章 傅里叶级数

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(not+pn) 7n=] (谐波迭加 An sin en cosnot An coson sinnot ao=Ao,an=An sinon-bn An coson,@t=x 得函数项级数 +∑(a,coSnX+b.sinnx） 2 n=] 称上述形式的级数为三角级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos   n cosn sin  令 sin , an  An n cos , bn  An n 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x      为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数

1.三角级数及三角函数系的正交性 组成三角级数的函数系： 1,cosx,Sinx,cos2x,sin2x,…,cosx,sinx,… 在[-π，上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，]上的积分等于零 证：1-cosnxdx=∫元1 sinnxdx=0（ (n=1,2,…） 元 元 cos kx cosnx dx coskxcosnx =[cos(k+n)x+cos(k-n)x] [cos(k+n)x+cos(k-n)x ]dx=0 (k n) 同理可证：sinkx sinnxdx=0(k≠n)） ["sin kx cosnxdx=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1      组成三角级数的函数系： 证:   π π 1 cos nxd x   π π 1 sin nxd x  0 cos kx cos nxdx π π   0 sin sin 0 π π   同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于零. 即其中任意两个不同的函数之积在 π π sin cos 0 k x nx x d    (k  n ) 1.三角级数及三角函数系的正交性

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，] 上的积分不等于零.且有 1ldx=2π -元 [cos2nxdx=元 (n=1,2,3,… ∫sin2nxdx=元 1+cos2nx 1-cos 2nx cos-nx= sin2 nx= 2 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于零. 1 1d 2 π π π    x sin nxdx 2 π π  cos n xdx 2 π π  , 2 1 cos 2 cos2 nx nx   2 1 cos 2 sin2 nx nx   且有  π  π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

2.函数fx)的傅里叶级数 设f(x)是周期为2元的周期函数，且 j)-空+a,o四-，如N） 00 ① n=1 右端级数可逐项积分，则有 「a,=f()cosdx (n=1,2,3,…） =f(x)sinndx (n=1.2,3..) 证：由定理条件，对①在[-兀，逐项积分，得 ed=2ja-awx+jm知sr 一元 =a0π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n      右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,                 1   π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得 2.函数f (x)的傅里叶级数

")dx ∫.fx)oskx dx= -[g,J2coskecos7xd+么.J2eoskasnxd =a4cos2kxdk=a4元 (利用正交性) ax =f()eoskxdx (k=1,2,…) 类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得 b=f()sinkxdx (k=1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束     kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d π π 0 π π        n 1   a kx nx x n cos cos d π π b kx nx x n cos sin d π π  a kx x k cos d π π 2   a f x kx x k ( )cos d π 1 π π    ( k 1, 2, ) (利用正交性)    ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 π π      b f x kx x k k a f (x)d x 1 π π 0      类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得

j)-生+a,osg+hsn) ① n=] [af(x)cosnxd x(n=0,1,…) ② (b=f()sinmdx (n=1,2,…) 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.-J BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ;        1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x    π π ( )cos d ( 0,1, ) π 1 an f x nx x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以    π π ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 bn f x nx x n  的傅里 的傅里叶级数. 称为函数 简介

推论 (1)当x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ∑b,sinx其中系数 n= 人-0snm (n=1,2,3,…) (2)当x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 +∑a,c0s甚中系数 2 )eodx (n=0,1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论 (1)当f(x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ，其中系数 (2)当f(x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 其中系数

3,傅里叶级数的收敛性 定理1（收敛定理）设函数f(x)是周期为2π的周期函数 如果它满足狄利克雷(Dirichlet)条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则x)的傅里叶级数收敛，并且 cin) 注意：函数展成 傅里叶级数的条 n= 件比展成幂级数 f(x), x为连续点 的条件低得多 f(x-0)+f(x+0)x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数. 狄利克雷，P.GL BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (收敛定理) 设函数 f (x) 是周期为2 的周期函数, 如果它满足狄利克雷( Dirichlet )条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且      f (x) , ( 0) ( 0) , 2 f x f x    x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 3.傅里叶级数的收敛性

例10.5.1设f(x)是周期为2元的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 二π≤x<0 0≤x<元 将f(x)展开成傅里叶级数， 解：先求傅里叶系数 a,f(x)cosmdx -1(-Deosndx+1.cosdx 元 =0 (n=1,2,3,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y x 例10.5.1 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为           1, 0 π 1, π 0 ( ) x x f x 解: 先求傅里叶系数        π 0 0 π 1 cos d π 1 ( 1)cos d π 1 nx x nx x   0 ( 1, 2 , 3 , ) n 将 f (x) 展开成傅里叶级数. O 1 1  π π