第七章 傅里叶变换
§7.1傅里叶变换 一个以L为周期的函数f(t),如果在区间[-L/2,L/2]上 连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数 f.(0）=4+∑(a,cos not+b,sinnot), n=] 其中 2元 2 L/2 0= ,ao 「f(t)dt, L L/2 2 An L 」fi(t)cosnotdt,.n=1,2,…, -L/2 L/2 b 2 」f2(t)sin noidt,.n=1,2,…. L -L/2 一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数f() 的傅里叶级数
§7.1 傅里叶变换 一个以L为周期的函数fL (t)，如果在区间[-L/2,L/2]上 连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数 其中 一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL (t) 的傅里叶级数. 0 1 ( ) ( cos sin ), 2 L n n n a f t a n t b n t = = + + / 2 0 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 2π 2 , ( )d , 2 ( )cos d , 1,2, , 2 ( )sin d , 1,2, . L L L L n L L L n L L a f t t L L a f t n t t n L b f t n t t n L − − − = = = = = =
傅里叶级数的复指数形式 e"+e e”+ei cost sint =一1 2 2i 2 f(0)= +e一+b,eo、 e n=1 2 2i a。-b+&,ti6em 2 2 2i L/2 记 -L/2
傅里叶级数的复指数形式 i i i i i i e e e e e e cos sin i , 2 2i 2 t t t t t t t t − − − + + + = = = − i i i i 0 1 0 i i 1 e e e e ( ) 2 2 2i i i e e . 2 2 2i n t n t n t n t L n n n n n n n n t n t n a f t a b a a b a b − − = − = + + = + + − + = + + / 2 0 0 / 2 1 ( )d , 2 L L L a c f t t L − = = 记
an Cn 2 L/2 L/2 是了f.(Xcosnor)-i了f.()dt -L/2 1 L/2 f(t)(cosnot-isinnot)dt -L/2 Jf0ed业，n=l2,, 1 L12 -L/2 Cn= an+ibn 2 .2. L2 L/2
/2 /2 /2 /2 / 2 / 2 / 2 i / 2 i 2 1 ( )(cos )d i ( )(sin )d 1 ( )(cos isin )d 1 ( )e d , 1,2, , n n n L L L L L L L L L L n t L L a b c f t n t t f t n t t L f t n t n t t L f t t n L − − − − − − = = − = − = = / 2 i / 2 i 2 1 ( )e d , 1,2, . n n n L n t L L a b c f t t n L − − − + = = =
=气emn=l2. L72 -L/2 f0=G,+∑c,ew+cem)=∑c,e, n=] n=-o0 0-wj
/ 2 i / 2 1 ( )e d , 1,2, , L n t n L L c f t t n L − − = = i i i 0 1 ( ) ( e e ) e , n t n t n t L n n n n n f t c c c c − − = =− = + + = / 2 i i / 2 1 ( ) ( )e d e . L n t n t L L n L f t f t t L − =− − =
设非周期函数F(t)在区间(-∞，∞)内连续、可积，且 绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2),F()在此区间上有三 角级数表示 n=-00 其中系数为 L/2 F(t)e-indt,n=01,2.., L -L/2 定义一个周期为L的函数F(t),FL()在区间(-L/2,L2) 内等于F),而在区间端点-L2,L/2处的值可能等于 F)在这两点的平均值；
设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且 绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三 角级数表示 ( , ) − i ( ) e , , 2 2 n t n n L L F t c t =− − = 其中系数为 / 2 i / 2 1 ( )e d , 0, 1, 2, , L n t n L c F t t n L − − = = 定义一个周期为L的函数FL (t)， FL(t)在区间(-L/2,L/2) 内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于 F(t)在这两点的平均值；
当L越大时，F()与F()相等的范围也越大，可以猜测 当L→o时，周期函数F()的极限为F(t),即是 lim F(t)=F(t). L-00 对任意的-0<t<0,有 F( F()=lim∑c,e L→0 n=-00 -L2 L/2 -L2 L/2 图7.1F)的周期化
当L越大时，FL (t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测 当L→时，周期函数FL (t)的极限为F(t)，即是 lim ( ) ( ). L L F t F t → = 对任意的 − t ，有 i ( ) lim e . n t n L n F t c → =− =
当L→o时m= ，令8，=c1,则有 2π F()= 三e如- L L/2 以及 gn=∫F(t)ein2wdt. -L/2 记0n=n2π/L,有 r=太之aaeo.-a》 其中对实数o,函数G(o)定义为 L/2 Gi(@)=F(t)eidt. -L/2
当L→时， ，令 ，则有 2π T = n n g c L = 1 (( 1) )2 i 2π / π ( ) e 2π n t L L n n n n F t g L =− + − = / 2 i 2π / / 2 ( )e d . L n t L n L g F t t − − = 以及 记 n = n L 2π / ，有 i 1 1 ( ) ( )e ( ), 2π n t L L n n n n F t G + =− = − 其中对实数，函数 GL ( ) 定义为 / 2 i / 2 ( ) ( )e d . L t L L G F t t − − =
当L趋向无穷时，G(o)自然趋向于一个函数G(o),称为 函数的傅里叶变换 L/2 G(@)=F(t)e-idt. -L/2 随着L趋向无穷时，△0n=0n-1-①n趋向于零，而0n所对 应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-∞到∞， 0=2元立ca,kra.-a)=2元JG yn=-0 称为G(o)的傅里叶逆变换 N G(o)=p.v.∫F(t)edt=lim∫F(t)edt V -N )-py.CGede N→02元
当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为 函数F的傅里叶变换， ( ) GL G( ) / 2 i / 2 ( ) ( )e d . L t L G F t t − − = 随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对 应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到， = − n n n −1 n 1 i ( )e d 2π t G − = i 1 1 ( ) ( )e ( ) 2π n t L L n n n n F t G + =− = − 称为 G( ) 的傅里叶逆变换. i i ( ) p.v. ( )e d lim ( )e d N t t N N G F t t F t t → − − = = 1 1 i i ( ) p.v. ( )e d lim ( )e d 2π 2π N t t N N F t G G → − − = =
定理7.1若F(t)在(-o,∞)上满足下列条件： (1)F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类 间断点； 2)F()在任何有限区间上只有有限个极值点： (3)F(t)在区间(-o,o)上绝对可积，即是积分F(t)dt 收敛则F的傅里叶变换G(ω存在，且有 F(t) 当F连续时； nv2xj6ok"dm-1Ea+0f-0 其他情形. 2
定理7.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件： (1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类 间断点； (2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点； (3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有 F t t ( ) d − G( ) i ( ) 1 p.v. ( )e d ( 0) ( 0) 2π 2 t F t F G F t F t − = + + − 当 连续时; 其他情形
