第一章 第5节 极限的运算法则 无穷小的运算定理 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数求极限的法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数求极限的法则 一 、无穷小的运算定理 第5节 极限的运算法则
一、无穷小的运算定理 定理1(1)有限个无穷小的和是无穷小 lim r(x)=0, x→X0 证：考虑三个无穷小的和.设1ma(x=0,imx,)=0, x→X0 Ve>0,381>0,当00，当00,当0<x-x<8时，有k号 令δ=mn{δ，62，d,则当0<x-xo<6时，有 1a+B+ysa+B+7<号+号+号=& 因此im(a+B+y）=0. →X0 这说明当x→x时，x+阝+y为无穷小量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = min 1 , 2 , 3 , 时, 有 一、 无穷小的运算定理 定理1 (1)有限个无穷小的和是无穷小 . 证: 考虑三个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 令 则当 0 x − x0 + + + + 3 3 3 + + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 当 时 , 有
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → + π 1 2 π 1 π 1 lim 2 2 2 n n n n n n =1 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理12)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,δ)，(x)≤M 又设ma(x)=0,即Ve>0,382>0,当x∈U(xo,82) x→X0 时，有(x)≤ 取δ=min{δ1，δ2，则当x∈U(,6)时，就有 u(x)a(x)<M.号=e 故1imu(x)a(x)=0,即u(x)a(x)是x→xo时的无穷小 →X0 推论(1)常数与无穷小量的乘积是无穷小 (2)有限个无穷小量的乘积是无穷小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u(x) M 又设 lim ( ) 0, 0 = → x x x 即 0, 当 时, 有 M x ( ) 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x U x0 时 , 就有 u(x)(x) = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 (1) 常数与无穷小量的乘积是无穷小 . (2) 有限个无穷小量的乘积是无穷小
二、极限的四则运算法则 定理2(1)若1imf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)士limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a(x),8(x)=B+B(x) (其中(x),B(x)为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+(x)±(B+B(x)) =(A±B)+(C(x)士B(x)) 由定理1可知α(x)±(x)也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+(x) , g(x) = B + (x) (其中 (x) , (x) 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+(x)) (B + (x)) = (A B) + ((x) (x)) 由定理 1 可知 (x) (x) 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理2 (1)若
定理2 (2)若limf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理证明 说明：定理2(2)可推广到有限个函数相乘的情形 推论(1)1im[Cf(x)]=C1imf(x) (C为常数) (2)1im[f(x)]”=[1imf(x)]” (n为正整数) 例.设n次多项式Pn(x)=ao+a1x++anx”,试证 lim P(x)=P(xo). x今X0 证：lim Pa(x)=a0+a,limx+…+an lim x” x→x0 x→X0 P (xo) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (2)若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 . 说明: 定理2 (2)可推广到有限个函数相乘的情形. 推论 (1) lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) (2) n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x
定理2(3)若1imf(x)=A,Iimg(x)=B,且B0,则有 lim f(x) lim f(x) g(x) limg(x) B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+c(x),g(x)=B+B(x),其中(x),Bx)为无穷小 设y= f(x)AA+a(x) A (Ba(x)-AB(x)) g(x)BB+B(x) B B(B+B(x)) 无穷小 有界 因此y为无穷小， 8(x) B 由极限与无穷小关系定理，得im (x) A lim f(x) B limg(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见书P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x U x 定理2 (3)若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+(x) , g(x) = B + (x) , 其中 (x) , (x) 设 B A B x A x − + + = ( ) ( ) ( ( )) 1 B B + x = (B(x) − A(x)) 无穷小 有界 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 因此 为无穷小
6x4-7x3+2 例1.5.5 求极限im 2x4+6x2-1 解：当x→©时，分别考察分子和分母，均没有极 限，所以无法使用极限的四则运算法则.可将 分子分母同时除以x 2 6x4-7x3+2 1im(6 lim X〉00 x→0 2x4+6x2-1 6 6 2+ x2 2+ 6 =3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.5.5 求极限 解: 当x→∞时，分别考察分子和分母，均没有极 限，所以无法使用极限的四则运算法则. 可将 分子分母同时除以x 4
例1.5.8求1im sin x x>00 X sinx X 解：sinx≤1 0 1im=0 x→0X sin x 利用定理2可知 lim =0 X>00 X sin x 说明：y=0是y= 的渐近线 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.5.8 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin =
三、复合函数求极限的法则 定理3设m(x)=4。,且x满足0 Ve>0,37>0,当00,38>0，当 0<x-x<8时，有px)-4<7 取δ=mn{δ，δ}，则当0<x-x<δ时 0<p(x)-4=-4<7 故fp(x)】-A=f(w)-A<8,因此①武成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、复合函数求极限的法则 定理3 设 且 x 满足 时, ( ) , 0 x u 又 则有 证: 0, 0, 当 0 u −u0 时, 有 f (u) − A 0, 1 当 0 − 0 1 x x 时, 有 (x) −u0 对上述 取 min , , = 0 1 则当 0 x − x0 时 0 (x) −u = u −u0 故 0 = f (u) − A , ① 因此①式成立