第一章 第7节 无穷小的比穀 引例.x→0时，x,x2,six都是无穷小，但 lim 0 lim =1, x→>0Snx x→>0 X sinx lim x-→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 x → 0时, x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第7节 引例 . x x x sin lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x sin lim →0 =1, 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义设α(x),B(x)是自变量同一变化过程中的无穷小， (1)若1m a(x) =O,则称x)是比(x)高阶的无穷小 记为阝=o() (2)若m B(x)- a(x) ∞，则称B(x)是比C(x)低阶的无穷小 (3)若1m B(x) =C≠0，则称xx)和B(x)是同阶无穷小 a(x) (4)若1im βx) =C≠0，则称B(x)是关于心(x)的k阶无穷小 [a(x)] (5)若lm B) =1,则称α(x)和B(x)是等价无穷小 a(x) 记为a(x)~(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 0, [ ( )] ( ) lim = C x x k 定义 0, ( ) ( ) lim = x x (1)若 则称 (x) 是比 (x) 高阶的无穷小, = o() , ( ) ( ) lim = x x (2)若 (3)若 (4)若 1, ( ) ( ) lim = x x (5)若 (x) ~ (x) 0, ( ) ( ) lim = C x x 设 (x), (x) 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记为 则称 (x)是比 (x) 低阶的无穷小 则称 (x)和 (x)是同阶无穷小 则称 (x)是关于 (x)的 k 阶无穷小 则称 (x) 和 (x) 是等价无穷小, 记为
例如，当x→0时 x3=0(6x2); Slnx心x；tanx~x arcsinx ~x 又如 lim 1-cosx lim 2sin22=1-0=0 x→0 x x->0 故x→0时1-Cosx是比x高阶的无穷小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x x x x 1 cos lim 0 − → x x x 2 2 0 2sin lim → = 又如 ， =10 = 0 故 时 是比 x高阶的无穷小
定理1与是等价无穷小的充分必要条件是 B=a+o(a) 证：a~阝二 im=】 1im(2-1)=0,即1im-&=0 =阝-a=o(C),即B=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx心x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ～ 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是 β＝α＋o(α) 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x)
定理2设a,B,y,a,B,y*为在同一变化过程中 的非零无穷小，且aa,B~,y一y,则有 lim B=lin 证：mB☑ lim a"a B" lim BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 设α，β，γ，α * ，β * ，γ *为在同一变化过程中 的非零无穷小，且α～α * ，β～β * ，γ～γ * ，则有 lim lim . * * * = 证: lim = * * * * * * lim lim 1 1 1 * * * = lim . * * * =
说明：设对同一变化过程，，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则 (1)和差取大规则：若B=o(a),则土B~C sInx 例如，lim li x 1 *0x3+3x x>03x 3 (2) 和差代替规侧：若a~a,B~B'且B与cx不等价 则a-B~a'-B,且lima-P=lim4-B 例如，lim tan 2x-sinx lim 2x-x =2 x-→0 V1+x-1 x-→0 x 注意~B时此结论未必成立！（见下页例1.7.4） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, 则 − ~ − , 例如, x x x x 3 sin lim 3 →0 + x x x 3 lim →0 = 3 1 = 则 ~ lim lim . − = − 且 注意 ~ 时此结论未必成立！ 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 + − − → x x x x x x x x 2 1 0 2 lim − = → = 2 (见下页例1.7.4)
(3) 因式代替规测：若α~B,且o(x)极限存在或有 界则 lim ao(x)=lim Bo(x) 例如， limaresinx-sin limxsin=0 x→0 Xx→0 X 例1.7.4求lim tan x-sin x x→0 sin3x 解：原式=lim sinx(1-cosx)1 一X x>0 sin *x COSx 原式关网 x-0 x3 =lim x2x21 x→0 x3 COSx 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例如, . sin tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x x − = → 原式 x x x x x cos 1 lim 3 2 2 1 0 = → 例1.7.4 求 0 1 lim sin 1 limarcsin sin 0 0 = = → → x x x x x x 解: 原式
内容小结 1.无穷小的比较 设x(x),x)对同一自变量的变化过程为无穷小，且C≠0 B(x)是cx)的高阶无穷小 B(x) B(x)是a(x)的低阶无穷小 hm a(x) C(≠0)，B(x)是心(x)的同阶无穷小 1, B(x)是(x)的等价无穷小 lim Bx) =C≠0，B(x)是a(x)的k阶无穷小 [a(x)] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 (x), (x) 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 (x) 是 (x) 的高阶无穷小 (x)是 (x) 的低阶无穷小 (x)是 (x) 的同阶无穷小 (x) 是 (x) 的等价无穷小 (x)是 (x) 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小：当x→0时 sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, 1-c0sx~3x2, 1+x-1~x, ex-1~x, In(1+x)~x 2.等价无穷小替换定理 Th2 作业 P411;2(3),3(2),(4),(6), BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS --0-C①8 第8节目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理 Th 2 作业 P41 1 ; 2(3) ; 3 (2), (4), (6), 常用等价无穷小 : 第8节
备用例题 例1求1im 0+x2)9-1 x>0 cos x-1 解：当x→0时， a+x2y-1- s-1- 原式=mx子 2 x→0 -x3 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解: 备用例题