第6为 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 极限存在准则 二、两个重要极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第6节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
一、极限存在准则 准则I 如果数列，{x,},{yn和{z满足 (1)Jym≤xm≤m(n=1,2,3,…) (2) lim y lim=a, n→0∞ 则数列 x的极限存在，且 lim x =a n→o0 准则I称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、极限存在准则 准则Ⅰ称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形. 准则Ⅰ 如果数列， 满足 (1) yn≤xn≤zn (n＝1,2,3， …)； (2) 则数列 的极限存在，且 lim y lim z a, n n n n = = → → lim x a. n n = →
准则I 如果函数x),gc),hc)满足 (I)当x∈U(x,δ)时，g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x>X>0) (2)lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0） (x→o) lim f(x)=4 x->X0 (x>∞） 准则I 单调有界数列必有极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 准则Ⅰ′ 如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足 (1) ( , ) , 当 x U x0 时 g x h x A x x x x = = → → (2) lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限．
例1.6.1设x。= n2+2 +++n 求lim n-→0 n.n .n 解：由于 <xn< n+nπ n+π 1 又lim =lim =1, n-→on2+n元 n-→0 π 1+ n 1 -1, n-→on+π 7n→00 π 1+ 由夹逼定理知 lim =1. n→00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C④8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.1 解: 由于 又 由夹逼定理知
二、两个重要极限 I.lim sin x =1 x→0 X 证：当x∈(0，)时 △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 asinx<tan x 故有 sin x cos x (0<x<) sinx 显然有 cosx<s1nx<1(0<x<〉 X sin x '.lim cosx =1. 注 lim =1 x→0 x→0 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 注 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 π x x x x (0, ) 2 π x 时， (0 ) 2 π 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 O B A x 1 D C
例1.6.4求1im tan x x->0 X 解：lim tan x lim sinx x→0 x->0 xCOSX sinx lim .lim-1-=1 x→0X x→0COSX BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.4 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1
1-cosx 例1.6.6求1im x→0 x2 解：原式= -月 0x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 例1.6.6 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 =
Ⅱ.1im(l+)'=e X→00 证：当x>0时，设n≤x0 1+ 1im+分)1=1im【+)P0+]=e n>o∞ lim(1+)'=e X>+00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 Ⅱ. 证: 当 x 0 时, 设 n x n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) + + n n + + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e lim (1 ) e 1 + = →+ x x x
当x>0时，令x=-(t+1),则t→+0，从而有 1md+》=lm0-)0 t+00 =m品t切=m0+y =lim[1+'(1+】=e 故1im(+)=e X>0 说明：此极限也可写为lim(1+x)=e X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 x = −(t +1), 则 从而有 ( 1) 1 1 lim (1 ) − + + →+ = − t t t ( 1) 1 lim ( ) − + + →+ = t t t t 1 1 lim (1 ) + →+ = + t t t lim [(1 ) (1 )] 1 1 t t t t = + + →+ = e 故 lim (1 ) e 1 + = → x x x 说明: 此极限也可写为 lim (1 ) e 1 0 + = → x x x 时, 令
例1.6.8求im(1-)4 X→00 解令1= 则当x→o时，t→0，于是 X 8 0-)=+)=m0+y X→00 =0+0] =e-8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.8 求 解: 令 , 2 x t = − 则当x→∞时，t→0，于是