第1节 第四章 不定积分的桡念与性质 原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第1节 不定积分的概念与性质 第四章
原函数与不定积分的概念 实例:如果已知物体的直线运动方程为s=),则此 物体的运动速度是距离s对时间的导数.反过来 如果已知物体的运动速度是时间的函数y=v(),求 物体的运动方程s=),即求孔),使它的导数f()等 于已知函数() 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 原函数与不定积分的概念 实例: 如果已知物体的直线运动方程为s=f(t),则此 物体的运动速度v是距离s对时间t的导数.反过来, 如果已知物体的运动速度v是时间t的函数v=v(t),求 物体的运动方程s=f(t),即求f(t),使它的导数f′(t)等 于已知函数v(t). 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数. 则称 F (x) 为f (x)
问题: 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,它如何表示? 原函数存在定理 若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在I上存在原函数 (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 原函数存在定理 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 (下章证明)
注.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证:1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) ∴.F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数,即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) ∴.[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(C0为某个常数) 它属于函数族F(x)+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 注. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] =(x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 它属于函数族 F(x) +C . 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在1 上的不定积分,记作f(x)dx,其中 「一积分号; f(x)一被积函数; (P120 x一积分变量;f(x)dk一被积表达式. 若F'(x)=f(x),则 「f(x)d=F(x)+C(C为任意常数) 例如, [e*dx=e*+C C称为积分常数, 「x2d=x3+C 不可丢! sin xdx cosx+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P120) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如, = x x e d C x e + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作
不定积分的几何意义: f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 f(x)dx的图形 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y O x0 x 的积分曲线
例4.1.6 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的2倍,求此曲线的方程 解: .·y=2x .y=∫2dr=x2+C 所求曲线过点(1,2),故有 1,2 2=12+C C=1 因此所求曲线为y=x2+1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.1.6 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的2倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 (1, 2) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + y x (1,2) O
从不定积分定义可知 0) [J=-)或djra]Fa (2) ∫F'(x)dr=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C 二、 基本积分表P122) 利用逆向思维 kdx kx+C (k是常数) (2) ∫rd=在x++C(k≠-) ()=1nx+C x<0时 (Inx)'=[In(-x)]'= X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 d x d (1) f (x)d x = f (x) 二、 基本积分表 (P122) 从不定积分定义可知: d 或 f (x)dx = f (x)dx x = +C (2) F(x) d F(x) 或 = +C d F(x) F(x) 利用逆向思维 = (1) kdx kx +C ( k 是常数) = x x k (2) d x C k k + + + 1 1 1 = x d x (3) ln x +C x 0时 (k −1) (ln x ) = [ln(−x)] x 1 =
dx (4) arctanx+C-arccot x+C 1+X (5) dx arcsinx+C-arccosx+C (6) cos xdx sinx+C (7 sin xdx -cos x+C (8) j、-jca=nC (9) 「jox=-m+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = + 2 1 d (4) x x arctan x +C = (6) cos xdx sin x +C = x x 2 cos d (8) = sec xdx 2 tan x +C 或 − arccot x +C = − 2 1 d (5) x x arcsin x +C 或 − arccos x +C = (7) sin xdx − cos x +C = x x 2 sin d (9) = csc xdx 2 − cot x +C