第6节 第六章 空间曲线及其方程 一 空间曲线的方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、空间立体图形的投影 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第六章 一、空间曲线的方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、空间立体图形的投影 第6节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的方程 1.空间曲线的一般式方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 GnS-oLrGxp-0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 G(x, y,z) = 0 L F(x, y,z) = 0 S1 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z O 1 y C 2 1.空间曲线的一般式方程
又如，方程组 Jz=Va2-x2-y x2+y2-ax=0 表示上半球面与圆柱面的交线C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. z y x a C
例6.6.1下面方程组表示怎样的曲线？ x2+y2=1 3x+2z=6 解：方程组中第一个方程表示母线平行于轴的圆柱 面，其准线是xO面上的x2+2-1;第二个方程表示 一个平行于轴的平面.因此方程组表示平面与圆柱面 的交线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例6.6.1 下面方程组表示怎样的曲线？ 解: 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱 面，其准线是xOy面上的 x 2+y 2=1；第二个方程表示 一个平行于y轴的平面.因此方程组表示平面与圆柱面 的交线
2.空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y表示成参数t的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的 参数方程 z=z(t) 列如，圆柱螺旋线的参数方程为 V =asin0t令0=ot,b= x acos z=vt y=asin =b0 当0=2元时，上升高度h=2πb,称为螺距 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 z y x O 将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 v 令 = t , b = h = 2πb 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . M 2.空间曲线的参数方程
二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xOy面上的投影曲线C为 H(x,y)=0 2=0 消去x得C在yOz面上的投影曲线方程 R(y,)=0 X x=0 T(x,z)=0 消去y得C在zOx面上的投影曲线方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程 消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程 = = 0 ( , ) 0 z H x y = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C O
例如 --Ml 在xOy面上的投影曲线方程为 x2+2y2-2y=0 2=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 z y x 1 O C 例如, 在xOy 面上的投影曲线方程为 = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C
又如 上半球面 z=√4-x2-y2和锥面z=V3(x2+y2 所围的立体在xOy面上的投影区域为：二者交线在 xOy面上的投影曲线所围之域 二者交线 c 在xOy面上的投影曲线 x2+y2=1 z=0 所围圆域：x2+y2≤1，z=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS --0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 z x 1 y 又如, 所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xOy 面上的投影曲线 二者交线 1, 0. 2 2 所围圆域: x + y z = 二者交线在 xOy 面上的投影曲线所围之域 . C O
三、空间立体图形的投影 例6.6.5求由抛物面z=4(x2+y2)与平面z=2所围成 的立体在xOy面上的投影 解将两个曲面方程联立，得到交线C关于xOy面 的投影柱面方程为x2+y2 交线C在xOy面上的投影曲线为 这是xOy面上的一个圆，于是立体在xOy面上的投 影区域就是该圆在xOy面上所围成的区域： x2+y2≤1/2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、空间立体图形的投影 例6.6.5 求由抛物面z=4(x 2+y 2 )与平面z=2所围成 的立体在xOy面上的投影. 解 将两个曲面方程联立，得到交线C关于xOy面 的投影柱面方程为 交线C在xOy面上的投影曲线为 这是xOy面上的一个圆，于是立体在xOy面上的投 影区域就是该圆在xOy面上所围成的区域： x 2＋y 2≤1/2
内容小结 空间曲线的方程一三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线） 空间曲线在坐标面上的投影 ·空间立体图形的投影 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 • 空间曲线的方程 三元方程组 或参数方程 • 空间曲线在坐标面上的投影 (如, 圆柱螺线) • 空间立体图形的投影