第1节 第九章 对孤长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第1节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分 第九章 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为4(x,y), (5,7,) 为计算此构件的质量，采用 是 分割，近似，求和，取极限 可得 M=lim∑4(，n,)A, 201 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可得 ( , ) . 1 = n i i i i M = s 为计算此构件的质量, i s Mi−1 Mi ( , ) i i 1.引例 曲线形构件的质量 采用
2.对弧长的曲线积分的定义 设L=AB为xO平面内的一条光滑曲线，函数x,y) 是定义在L上的有界函数.在L上任意插入分点 A=M,M1,M2,.,M-1,M=B, 将L分成n个小段，记△s,=M,-M,(i=1,2,…,n),同时 △s也表示其长度.在△s,上任取一点(5，)，作乘积 5n)△s,(i=1,2,.,n,并作和式 ∑f5,7)As, 记2=max{△s,},如果不论如何分割及（飞，n如何选 1≤isn 取，极限 lim ∑f(5,n,)△s, 2>0 i=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2.对弧长的曲线积分的定义 A＝M0，M1，M2，…，Mn-1，Mn ＝B， 设 为xOy平面内的一条光滑曲线，函数f(x，y) 是定义在L上的有界函数．在L上任意插入分点 L AB = 将L分成n个小段，记 ，同时 Δsi也表示其长度．在Δsi上任取一点(ξi ,ηi )，作乘积 f(ξi ,ηi )Δsi (i＝1,2，…，n)，并作和式 记 ，如果不论如何分割及(ξi ,ηi )如何选 取，极限 1 ( 1,2, , ) i i i s M M i n = = − 1 ( , ) . n i i i i f s = 1 =max{ }i i n s 0 1 lim ( , ) n i i i i f s → =
都存在，则称此极限值为函数x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫f(x,y)d,即 fx,yds=lm∑f5,n)△ 1-0 其中(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 都存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线. ( , ) , d L f x y s 即 0 1 ( , ) lim ( , ) . d n i i i L i f x y s f s → = =
3.对弧长的曲线积分的性质 付x,ds=k∫，fx,y)d(为常数. 2)∫Lf(x,)±8，yds=Jfx,ds±，8x,ds (dsds+ds ( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 3.对弧长的曲线积分的性质 (1) ( , )d ( , )d L L kf x y s k f x y s = （k为常数); (2) ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d ; L L L f x y g x y s f x y s g x y s = 1 2 1 2 (3) ( , )d ( , )d ( , )d ( ). L L L f x y s f x y s f x y s L L L = + = +
二、对弧长的曲线积分的计算 基本思路：求曲线积分 转化 → 计算定积分 定理1设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=w(t)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分，f(x,y)d存在，且 xnds=JgfIe0),wepPa)+w2adr 证：根据定义 ()ds=lim()As 2>0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = + f x y s f t t t t t L ( , )d [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算 基本思路: 转 化 计算定积分 定理1 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 0 1 lim ( , ) . n i i i i f s → = =
设各分点对应参数为t,(i=0,1,…,n), 点(5,7，)对应参数为；∈[1-1,1]， As=∫Vp“)+y()d =Vp2()+2(,)△，，∈[111] 则jzfx)d -f().v()lGN i- -J"fIo()w(lo"()+w"()at BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 点 ( , ) i i 1 2 2 ' ( ) ( ) d i i t i t s t t t − = + 2 2 ' ( ) ( ) , i i i = + t 0 1 lim n i → = = [ ( ), ( )] i i f 设各分点对应参数为 对应参数为 则 2 2 f t t t t t [ ( ), ( )] ' ( ) ( ) d = +
说明： (1)·△s,>0,.△1，>0，因此积分限必须满足α<B！ (2)注意到 ds =v(dx)2+(dy)2 =vo2(t)+w2(t)dt dx 因此上述计算公式相当于”换元法” x X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束x y O dx dy ds 说明: (1) 0, 0, i i s t 因此积分限必须满足 ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 = + x 因此上述计算公式相当于“换元法
推论1如果L的方程为y=W(x)(a≤x≤b),平(x)在 [a,b]上具有连续导数，则有 Jds =["f(()()dx 推论2如果L的方程为x=y)(c≤d),y)在[c,d] 上具有连续导数，则有 2xa=iw0.V1+w0 推论3如果极坐标方程：L:r=r(O)(α≤0≤阝)，则 Jf(y)ds =fr(e)sino,r(e)cos02(0)+r2(0)do BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS O< 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论1 如果 L 的方程为 Ψ (x)在 推论3 如果极坐标方程: L :r = r( ) ( ), 则 f r r [ ( )sin , ( )cos ] = 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r = b a f (x,(x)) [a，b]上具有连续导数，则有 推论2 如果L的方程为x＝Ψ(y)(c≤y≤d)， Ψ(y)在[c，d] 上具有连续导数，则有 2 [ ( ), ] 1 ( ) d + y y d c = f y y
例9.1.3计算」Vds其中L是抛物线y=x2上点0(0,0) 与点B(1,1)之间的一段弧 解：L:y=x2(0≤x≤1) 'Jids =Jox1+(2dx B1,1) =xv1+4x2dx =20+x) 1 x -55-0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例9.1.3 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: : (0 1) 2 L y = x x = 1 0 x x 1 4x dx 1 0 2 = + 1 0 2 3 2 (1 4 ) 12 1 = + x (5 5 1) 12 1 = − 上点 O (0,0) O 1 L x y 2 y = x B(1,1)