第3为 第十一章 高阶微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分方程的解法 第3节 一、可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 第十一章 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例
一、可降阶的高阶微分方程 1.ym=f(x)型的微分方程 令=ym-),则=ym=fw),因此 dx :=∫f(x)dr+C 即 y-D=∫fcw)dr+C 同理可得y-2=[f(x)dxr+C]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、可降阶的高阶微分方程 ( ) 1. ( ) n y f x = 型的微分方程 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x +
例11.3.1 求微分方程y"=ex+cosx的通解 解：y"=-e'+sinx+C1g y'=c*-cosx+Gx+C2, y=-e*-sinx+ +Cxx+C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ●-0-C④8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.1 求微分方程 解: 1 e sin , x y x C − = − + + 1 2 e cos , x y x C x C − = − + + 1 2 2 3 e sin . 2 x C y x x C x C − = − − + + +
2y”=(x,y型的微分方程 设y=p,则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=(x,C) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=@(x.Ci)dx+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. ( , ) y f x y = 型的微分方程 设 y p = , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C
例11.3.3设有一均匀，柔软的绳索，两端固定， 绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图.考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况： A点受水平张力五 M点受切向张力T ugs 弧段重力大小4gS(:密度，s:弧长〉 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=4gs 两式相除得 tan O sa=hg） 故有y=1+y2dx一y=号 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.3 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 (μ: 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs ( ) a H g = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A y O x
设O4=a,则得定解问题 y=&V1+y2 悬链线 x=o =a,y'lx=0 =0 令y'=p(x),则y” dp. 方程化为 48S dx X dx 1+p a Arsh p=In(p+1+p2) 两端积分得Arsh p=。+C,由yx=0=0得C1=0, 则有 y'=sh 两端积分得y=ach+C2,由yx=0=a,得C2=0 故所求绳索的形状为y=ach =a(eire a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 y 1 y a = + 设 OA = a, 则得定解问题: 令 y = p(x), , d d x p 则 y = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( e e ) 2 a x a x a − = + 悬链线 a M gs T H A y O x
3y”=fy,y)型的微分方程 令y=p(y),则y”= dp=dp.dy p dx dy dx =Pd 故方程化为 =f(y,p) dy 设其通解为p=p(y,C),即得 y'=p(y,C1) 分离变量后积分，得原方程的通解 d =x+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 3. ( , ) y f y y = 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
例11.3.4求微分方程yy”-y2=0的通解 解：设y=p,则y”= dp dx dy dx dy 代入方程得yPy -p2=0,即9 dy 两端积分得lnp=lny+C,即p=Cy y'=Cy(一阶线性齐次方程) 故所求通解为y=C,e9(C,=±e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.4 求微分方程 代入方程得 两端积分得 ln ln , p y C = + , 1 即 p = C y (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解:设 x p y d d 则 = x y y p d d d d = y p p d d =
二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 形如 y”+P(x)y+Q(xy=x) 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x), x)都是x的已知函数 如果x)0,方程变为 y”+P(xy'+Q(x)y=0 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程；而原方程 称为二阶非齐次线性方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -N 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)， f(x)都是x的已知函数． 形如 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝f(x) 如果f(x)≡0，方程变为 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝0. 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程；而原方程 称为二阶非齐次线性方程．
2.二阶线性微分方程的解的结构 定理1若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y”+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解，（解的叠加性 证：将y=Cy(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C”+C2y2]+P(x)儿C1+C2y2] +Q(x)[C+C2y2] =C][y+P(x)y+(x)y +C2[y2+P(x)2+Q(x)y2]=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( )[ ] + P x C1 y1 + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P(x)y + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x +C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y + P x y + Q x y (解的叠加性) ( ) ( ) 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 定理1 2.二阶线性微分方程的解的结构