第2节 第十一章 一阶微分方程的解法 可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的解法 第2节 一 、可分离变量的微分方程 第十一章 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程
可分离变量的微分方程 形如 f(x)g(y)的方程，称为可分离变量的微分方程 dx 在gy)0时，方程可化为 f(x)dx. 8(y) 它的特点是一端只含的函数和dy,另一端只含x的函 数和dx.这种方程称为变量已分离的微分方程.转化 方程的过程称为分离变量 设y=p(x)是方程的解，那么 (x) dx f(x)dx glo(x)] 将上式两积粉，得。心 dx=Jf(x)dx+C. 其中C是任意常数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 d ( ) ( ) d y f x g y x 形如 = 的方程，称为可分离变量的微分方程． 它的特点是一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函 数和dx.这种方程称为变量已分离的微分方程．转化 方程的过程称为分离变量． 设y＝ (x) 是方程的解，那么 其中 C是任意常数． 将上式两端积分，得 在g(y)≠0时，方程可化为 一、可分离变量的微分方程 d ( )d . ( ) y f x x g y = '( ) d ( )d . [ ( )] x x f x x g x = '( ) d ( )d , [ ( )] x x f x x C g x = +
例11.2.1求微分方程 0-2w 的通解 解：当0时，分离变量得 dy=2xdx, 两端积分∫-∫2xd 得 In y =x2+C. 即 y=±ex+G=±eS9e 令C=±eSi≠0 y=Ce(C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.1 求微分方程 的通解. 解:当y≠0时，分离变量得 d 2 d , y x x y = 两端积分 得 2 1 ln . y x C = + 即 1 e 0 C 令C = ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例11.2.3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 dv 解：根据牛顿第二定律列方程 m mg -kv dt 初始条件为v,=0=0 对方程分离变量，然后积分： 得-n(mg-k)=+C (此处mg-kv>0) k m 利用初始条件，得C=-ln(mg） t 足够大时 V≈ mg 代入上式后化简，得特解v= m8(1-e m BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.3 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 初始条件为 v t=0 = 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得 (此处 mg − kv 0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C = − 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 e ) t m k k m g v − = − mg − kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v t 足够大时
二、齐次微分方程 形如 =p(当 的方程叫做齐次方程 解法： 令w=y,则y=x, du =2u+x X dx 代入原方程得 du u+x dx =p() du dx 分离变量： p(u）-u X 两边积分，得 积分后再用∑代替4，便得所给齐次方程的通解 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、齐次微分方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得所给齐次方程的通解. 解法: 分离变量:
例11.2.4解方程 y x2- 解：原方程可写成 令 1- X 则有y=x, u+x dx 分离变量得 (-u2)du dx u 两端积分得 27almx+G即a=Ce2 代▣原变量得通解y-Ce2y=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.4 解方程 解:原方程可写成 2 d , d 1 ( ) y y x x y x = − , y u x 令 = 则有 d d , , d d y u y ux u x x x = = + 分离变量得 2 3 (1 )d d . u u x u x − = 两端积分得 2 1 1 ln ln , 2 u x C u − − = + 代回原变量得通解 即 2 1 2u ux Ce − = 2 2 2 0. x y y Ce − − =
三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) dx 若Qx)≡0，称为齐次方程 若Qx)丰0，称为非齐次方程 1解齐次方程 +P(x)y=0 dx 分离变量 d业 -P(x)dx y 两边积分得 lny=「P(x)dx+C 故通解为 y=Ce-Podx(C=±eS), BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1.解齐次方程 分离变量 两边积分得 1 ln ( ) , y P x x C = − + d 故通解为 1 ( ) d e ( e ), P x x C y C C − = = 称为齐次方程 ;
2.解非齐次方程 dy. P(x)y=Q(x) dx 用常数变易法作变换y(x)=u(x)e∫P(x)dx, 则 We-P(dxPueP(e dx-O() 即 =OeJax dx 两端积分得 u=∫gx)dx+C 故原方程的通解y=eP[)e0“a+C 即 y=Ce-xe[()dx 齐次方程通解 非齐次方程特解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 − = P x x y C ( )d 对应齐次方程通解 e 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x C ( )d e 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( )e , ( ) − = P x x y x u x d 则 − P x x u ( )d e + P(x) − P x x u ( )d e = Q(x) 故原方程的通解 Q x x P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d − + = + − y Q x x C P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u ( )d ( ) e u Q x x C P x x = + ( ) e d ( )d 两端积分得
例11.2.5求方程 d少-y=x2的通解 解：先解 d少-y=0,即y=d dx x 积分得ny=lnx+C,即y=Cx(C=e) 用常数变易法求特解.令y=u(x)x,则 dy=u(x)x+u(x). 代入非齐次方程得'(x)=x 解得“)=2x中C 故原方程的通解为y=二x+Cx. 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.5 求方程 解: 先解 d 0 , d y y x x − = 即 d d , y x y x = 积分得 即 1 ( ). C y Cx C e = = 用常数变易法求特解. y u x x = ( ) , 则 d ( ) ( ), d y u x x u x x = + 代入非齐次方程得 解得 1 2 ( ) . 2 u x x C = + 故原方程的通解为 令
四、伯努利方程 伯努利方程的标准形式 dy (n≠0,1)〉 +P(x)y Q(x)y" 解法：以y”除方程两边，得 雅名布第一·伯努利 +P(x)y-=0(x) dx 令：=yn,则=0-myn dx dx +1-n)P(x):=(1-m)Q()(线性方程) dx 求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 伯努利目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 四、伯努利方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n + = − − 令 , 1 n z y − = x y n y x z n d d (1 ) d d − 则 = − (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z + − = − 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利