第4为 第十章 岛数展开成暴级数 泰勒级数 二、 函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十章 三、函数的幂级数展开式的应用
一、泰勒级数 复习：f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有 f(x)=f(%o)+f(%o)x-xo)+I"o(x-xo) 2川 ++fm（g-y+R, n! 其中Rn(x) f”(-(5在x与之间 (n+1)川 称为拉格朗日余项 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒级数 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项. 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :
若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f)+FGox-x)+2(x-,月 21 ((x)"+ nl 为f(x)的泰勒级数 当x,=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)? BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数. 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
定理1 设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：1imR,(x)=0. n->oo 证九-三/：-x八、a k=0 f(x)=S(x)+R,(x) lim R,(x)lim [f(x)-S,+(x)]=0,xEU(xo) n-→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 xU x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 xU x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
定理2如果f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展开成的幂级数为 f(x)=ao+ax+a2x2+…+anx”+…,x∈(-，R) 则 a=f(0) f'(x)=4+2a2x++nanx+;a,=f(0) f"(x)=21a2++nn-1)anx-2+…;a2=f"(0) f((x)=nlan+.. an =mf((0) 显然结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 如果f (x) 能展开成 x 的幂级数, 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展开成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f 则这种展开式是
二、 函数展开成幂级数 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 1.直接展开法 的函数展开 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下 第一步求出x)的各阶导数， 第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值 第三步写出幂级数，并求出收敛半径R 第四步 判别在收敛区间(-R,R)内limR,(x)是否为 n>o∞ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求出f(x)的各阶导数 ; 第二步 求函数及其各阶导数在x＝0处的值 ; 第四步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 第三步 写出幂级数，并求出收敛半径R
例10.4.1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,f(0)=1(n=1,2,2 故得级数 1+x+ 2 21 n 其收敛半径为 R=lim =十00 n-→o0 (n+1)月 对任何有限数x,其余项满足 n+l R,(x)= oo (n+1) (5在0与x之间) 故心=1+x+产+ 21 x”+…,x∈(-0，+0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) e , (n) x f x = ( ) (0) 1 ( 1,2, ), n f n = = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数
例10.4.2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n·5〉 o- n=2k (k=0,1,2,…） n=2k+1 得级数X-x3x5-+(-1”x21+… 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(5+(n+1)) n+1 IR () n0 (n+1)! (n+1)！ snx=x-京x+京x3-+(-1)” 十 x∈(-0，+00) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.2 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 π + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x 1 2 1 (2 1)! ( 1) + + n n n − + x sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , 2 1 1 1 3 5 3! 5! (2 1)! ( 1) + + n n x n = − + − + − + x x x
2.间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 将所给函数展开成幂级数 例10.4.4将函数 1+x2 展开成x的幂级数 解：因为 1=1+x+X2++x”+…(-1<x<1) 1- 把x换成-x2,得 1+x2=1-x+x-+(-1x2+… (-1<x<1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法 1 1 x = − 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例10.4.4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 2 1 n + + + + + x x x (−1 x 1) 把 x 换成 2 −x = + 2 1 1 x 2 4 2 1 ( 1)n n − + − + − + x x x (−1 x 1) , 得 将所给函数展开成幂级数
例10.4.5将函数f(x)=1n1+x)展开成x的幂级数 解：f'(x)=, = ∑(-1)”x”(-1<x<1) 1+x n=0 从0到x积分，得 含yfra -1<x≤1 n=0 上式右端的幂级数在x=1收敛，而ln(1+x)在x=1有 定义且连续，所以展开式对x=1也是成立的，于是收敛 域为-1<x≤1. 利用此题可得 111 1n2=1- n+] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS O< 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.5 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: x f x + = 1 1 ( ) ( 1) ( 1 1) 0 = − − = x x n n n 从 0 到 x 积分, 得 x x x x n n n ln(1 ) ( 1) d 0 0 = + = − , 1 ( 1) 0 1 = + + − = n n n x n 定义且连续, 域为 利用此题可得 −−11xx11 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1+ x)在x =1有 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛