北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第4章 不定积分 3第二类换元积分法

第四章 第3节 第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 第二类换元积分法 第四章

第一类换元法解决的问题 ∫fI(x]'(xd=∫fud 难求 易求 |u=p(x) 若所求积分「f(u)du难求， 「fo(x】p'(xdx易求 则得第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx    f (u)du u  (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx  易求, 则得第二类换元积分法.  f (u)du 难求

定理设x=W(t)是单调可导函数，且W(t)≠0， f[w(t)]w(t)具有原函数，则有换元公式 ∫f)dk=∫f[w(]w)d=ws 其中t=w(x)是x=必()的反函数 证：设f[yw(t)]yw(t)的原函数为D(t),令 F(x)=D[w'(x)] 则 F'(x) Fdr' -00d/ 「f(x)dx=F(x)+C=[w'(x】+C =∫f[w]w'(d-ws BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  F(x) C (t)  f [ (t)](t) 定理 设 x (t) 是单调可导函数 , 且 (t)  0, f [(t)](t)具有原函数 , ( ) ( )d [ ( )] ( )d 1 t x f x x f t t t          ( ) ( ) . 其中t  1 x 是 x  t 的反函数 证: 设 f [(t)](t)的原函数为(t), 令 ( ) [ ( )] 1 F x x    则 F(x)  d t d x t d d   f [(t)](t) ( ) 1  t   f (x) f (x)dx    x  C  [ ( )] 1   [t]  C ( ) 1 t x   ( ) [ ( )] ( )d 1 t x f t t t         则有换元公式

例4.3.2求 ∫Na2-x2dx(a>0) 解：令x=asint,t∈(-5，)，则 x Va2 -x2 va2-a2sin2t=acost a dx acostdt ∴.原式=∫acost.acos1dt=a2∫cos2tdt =42d-* sin 2t )+C sin21=2sintcost=2..a a a arcsin+xa2-x2+C 2 a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.2 求 d ( 0) . 2 2    a x x a 解: 令 sin , ( , ), 2 π 2 π x  a t t   则 a x a a t 2 2 2 2 2    sin  a cost dx  a cost d t ∴ 原式 a cost    a cost d t a cos t d t 2 2    a  C 2 4 sin 2 2 t t  a x 2 2 a  x t a x arcsin  x a  x C 2 2 2 1 2 2 a  sin 2t  2sin t cost  2 a x  2 2 a x a  2 1 cos2 d 2 t a t   

dx 例4.3.3求 (a>0) 解：令x=atant,t∈(-，)，则 Vx2 +a2 va2tan2t+a2 asect dx asec2 td t 娱式-ecd=小ea, In sect+tant C In choc a a =Ix+vx+a+G BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.3 求 ( 0). d 2 2    a x a x 解: 令 tan , ( , ), 2 π 2 π x  a t t   则 2 2 2 2 2 x  a  a tan t  a  asect dx asec t d t 2  ∴ 原式   a t 2 sec asect d t sect d t    ln sect  tan t C a x 2 2 x  a t C x x a a C a x a x a          ln ln ln 2 2 2 2 ln .1 2 2  x  x  a C

例4.3.4求 (a>0) 解：当x>a时，令x=asect,t∈(0，)，则 Vx2 -a2 va?sec2t-a2 atant dx asecttantd t 原式= 2004d-jscrd In sect+tant+C =Inx+vx2-a2 |-Ina+C=Inx+vx2-a2 +C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.4 求 ( 0). d 2 2    a x a x 解: 当x  a时, 令 sec , (0, ), 2  π x  a t t 则 2 2 2 2 2 x  a  a sec t  a  a tan t dx  asect tan t d t ∴ 原式 t   d asect tan t a tan t sect d t    ln sect  tan t C a x 2 2 x  a t  ln C  ln x  x  a  ln a C 2 2 2 2 x  a a  x a ln .1 2 2  x  x  a C

当xa,于是 dx --mtc a --h- +C -Ix+v-+G x>a时， g。=m+-aC=6w dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 当x  a 时, 令 x  u , 则u  a,于是   2 2 d x a x     2 2 d u a u 1 2 2   ln x  x  a C  2 2 d x a x x  a 时，   u  u  a C 2 2 ln    x  x  a C 2 2 ln C x x a a       2 2 2 ln 1 2 2  ln x  x  a C ( ln ) 1 C  C  a

说明： 1.被积函数含有Vx2+a2或x2-a2时，除采用三角 代换外，还可利用公式ch2t-sh2t=1采用双曲代换 x=asht或x=acht 消去根式，所得结果一致.（参考教材P137) 2.再补充两个常用双曲函数积分公式 (14)shxdx chx+C -X (15)chxdx=shx+C ex+e x chx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 被积函数含有 x 2  a 2 或 x 2－a 2时，除采用三角 ch sh 1 2 2 t  t  采用双曲代换 x  ash t 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考教材 P137 ) 或 x  a ch t 代换外, 还可利用公式 2 e e sh x x x    ch x  C   (15) ch xdx sh x  C   (14) sh xdx 2 e e ch x x x    2. 再补充两个常用双曲函数积分公式

例43.5求 dx. 解：令x=},则dr=寻di 产r 当x>0时， 原式=-2aje22-da7-D =(a22-D+C-_-+c 3a2 3a2x3 当x<0时，类似可得同样结果 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上负 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 原式     2 1 ( 1) 2 2 a t 2 2 1 a 例4.3.5 求 d . 4 2 2   x x a x 解: 令 , 1 t x  则 x t t d d21  原式   t t d 1 2   (a t 1) t d t 2 1 2 2     当x  0时, 4 2 1 2 1 t t a  C a a t     2 2 2 3 ( 1) 2 3 当 x < 0 时, 类似可得同样结果 . C a x a x     2 3 2 2 3 ( ) 2 3 d( 1) 2 2 a t 

小结： 1.第二类换元法常见类型： 1)[f(x,ax+b)dx,t=ax+b 2)jf(x,a)dr,令t=x+a ax+b 第四节讲 3)jf(x,Va2-x2)drx,令x=asint或x=acost 4)∫f(x,√a2+x2)dx,令x=atant或x=asht 5)∫f(x,Vx-a)dx,令x=asect或x=acht BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 1) ( , )d ,  f x ax  b x n 令t  n ax  b 2) ( , )d ,    f x n x c x d a x b 令 n c x d a x b t    3) ( , )d , 2 2  f x a  x x 令 x  asin t 或 x  a cost 4) ( , )d , 2 2  f x a  x x 令 x  a tan t 或 x  ash t 5) ( , )d , 2 2  f x x  a x 令 x  asect 或 x  a ch t 第 四 节 讲