第二章 第5为 隐荔数的导教 隐函数的导数 二、 对数求导法 三、参数方程确定函数的导数 四、相关变化率 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
第5节 一、隐函数的导数 三、参数方程确定函数的导数 二、对数求导法 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的导数 第二章 四、相关变化率
一、隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x+y3-5=0可确定显函数y=V5-x y°+2y-x-3x=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 F(x,y)=0(含导数y的方程 dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程) 目录 上页 下页 返回 结束
例2.5.2求曲线3y=2x+x4y在点(0,0处的切线方程 解：将曲线方程的两端对x求导，得 3y=2+4x3y3+3xy2y 将x=0,y=0代入上式得，3y=2, 解得，月行 2 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=。x. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
例2.5.2 求曲线 解: 将曲线方程的两端对 x 求导，得 将x＝0，y＝0代入上式得， 3 ' 2, 0 = x= y 在点(0,0)处的切线方程. 目录 上页 下页 返回 结束 解得， . 3 2 ' 0 = x= y 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为
二、对数求导法 例2.5.4求y=x(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 m y=x.In x 两边对x求导 =nx+x- 即得y=(1+nx)y, X y'=(1+nx)x. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
例2.5.4 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y 1 = ln x x x 1 + 即得y =(1+ln x)y. 目录 上页 下页 返回 结束 二、对数求导法 (1 ln ) . x y = + x x
说明： 1)对幂指函数y='可用对数求导法求导 Iny=vInu =vlnu+4 y=u(+47) 注意： y'=u"Inu.v'+yu"-!.u 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y 1 = v lnu u u v + ( ln ) u u v y u v u v = + y u u v v = ln vu u v + −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 目录 上页 下页 返回 结束
2)有些显函数用对数求导法求导很方便 (a>0.5>08r1 两边取对数 Iny=xIn#+a[lnb-Inx]+b[Inx-Inal 两边对x求导 In y-8g-+ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 目录 上页 下页 返回 结束
叉如，y= (x-1)(x-2) V(x-3)(x-4) 两边取对数 (In u u Iny-[--2-In x-3-n4] 对x求导 (x-1(x-2) 2 (x-3(x-4到 3x-4 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u (ln ) = 2 1 ln y = 对 x 求导 2 1 = y y 4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4 + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x 4 1 − − x 目录 上页 下页 返回 结束
三、参数方程确定函数的导数 若参数方程 x=p(t) y =w(t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，p(),w(t)可导，且[p'(t)]2+[w(t)]≠0，则 0'(t)≠0时，有 dy dy dt dy 1 w(t) dx dt dx _dt dx 0'(t) W(t)≠0时，有 dt dx dx dt dx 1 p'(1) dt dy dt dy w'(t) (此时看成x是y的函数 dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
三、参数方程确定函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (t) 0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 目录 上页 下页 返回 结束
若上述参数方程中p(t),w(t)二阶可导，且p'(t)≠0， 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数 x=p(t) 利用新的参数方程 d业-y@ 可得 d p'(t) d2y dx dx2 品 dt w"(t)o'(t)-w(t)o"(t) p2(t) ?(t) _Ψ"()0'()-Ψ(t)p"(t p3(t) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2 t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t − = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 目录 上页 下页 返回 结束
例2.5.6 已知斜抛物体运动的轨迹参数方程为 X=voc0SC·t y=%smx·t-3g12 求该物体在任意时刻速度的大小和方向 解：速度分量分别为 dx Vx= 三} dt Vo cosa ,Vy dy =vosin a-gt, v=+=v cos"a+(vosin a-gt)2. dy vosm a-gt tan o dy dt dx dx "o cos a dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
例2.5.6 已知斜抛物体运动的轨迹参数方程为 求该物体在任意时刻t速度的大小和方向. 解: 速度分量分别为: 目录 上页 下页 返回 结束
