第4为 第三章 离数的极值与 最大值、最小值问题 函数的极值及其求法 二、 函数的最大值与最小值问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第4节 函数的极值与 最大值、最小值问题 第三章
函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在点x,的某邻域U(x)内有定义 如果对于Vx∈U(x,),恒有： (1)f(x)f(x),则称xo为f(x)的极小值点 称f(xo)为函数的极小值 函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极 值的点统称为极值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义: (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 函数的极大值与极小值统称为极值．使函数取得极 值的点统称为极值点. 一、函数的极值及其求法
例如，函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x=1为极大值点，f()=2是极大值 x=2为极小值点，f(2)=1是极小值 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大值点 x2,x5为极小值点 x3不是极值点 O ax1 x2 X3 x4 xs b x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 O a x b x y 1 4 x , x 为极大值点 2 5 x , x 为极小值点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 例如 , f x = x − x + x − 为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数 1 2 O x y 1 2
定理1（极值的必要条件） 设函数x)在点x处可导，且x)为极值，则有 证：设x为极大值，则存在x,的某邻域U(x),对 于xeU(x),有 Ax)<Ax). 由费马引理得，(x)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e--C8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 (极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0 )为极值，则有 f′(x0 )＝0. 证： 设f(x0 )为极大值，则存在x0的某邻域U(x0 )，对 于 有 f(x) < f(x0 ), 由费马引理得， f′(x0 )＝0. ( ), 0 x U x 。
定理2判别极值的第一充分条件) 设函数f(x)在点x,的某去心邻域U(x,)内可导， x为函数的驻点或不可导点如果在U(x,)内有， (1)'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值； (3)在x,的两侧，f(x)恒为正或恒为负，则x) 不是极值 点击图中任意处动画播放暂停 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 (判别极值的第一充分条件) 设函数 ( )在点 的某去心邻域 ( )内可导, 0 0 f x x U x 。 x0为函数的驻点或不可导点． 如果在 ( )内有, 0 U x 。 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 点击图中任意处动画播放\暂停 (3)在x0的两侧，f′(x)恒为正或恒为负，则f(x0 ) 不是极值．
定理3判别极值第二充分条件)设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x)=0,∫”(x)≠0 (1)若∫"(x)0,则f(x在点xo取极小值 证：(1)f"(xo)=1im f(x)-f(o) =1im f'(x) x→x0 x-xo x->x0x0 由∫"(x)0，当00 当x<x<x+δ时，f'(x)<0, x0δx0xtδ 由第一充分条件知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (判别极值第二充分条件) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一充分条件知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证
例3.4.2求函数f(x)=-2x3+6x2+18x+7的极值 解：在函数的定义域(-0，+o)内， f'(x)=-6x2+12x十18=-6(x-3)(x+1) 令f(x)=0,求得驻点x=-1及x=3. 由f"(x)=-12x+12 "(-1)=24>0,f"(3)=-24<0, 故-1)=-3是极小值，3)=61是极大值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.4.2 求函数 的极值 . 解: 在函数的定义域(-∞,+∞)内， f ′(x)＝－6x 2＋12x＋18＝－6(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，求得驻点 x＝－1及x＝3. 由f″(x)＝－12x＋12， f″(－1)＝24>0， f″(3)＝－24<0， 故f(－1)＝－3是极小值，f(3)＝61是极大值．
*定理4判别法的推广)若函数f(x)在x0点有直到n阶导 数，且f'(x0)=f"(xo)==fn-)(x0)=0,fm(xo)≠0， 则：1)当n为偶数时，x为极值点，且 fm)(xo)>0时，x是极小点 fm(xo)<0时，x是极大点 2)当n为奇数时，x,不是极值点 证：利用f(x)在x。点的泰勒公式，可得 x)-j)=(x-y+ox-) n! 当x充分接近x,时，上式左端正负号由右端第一项确定 故结论正确 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 *定理4 (判别法的推广) ( ) 0, 0 ( ) f x n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ++ n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x − + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
二、函数的最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间α，b]上连续，则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得： 求函数最值的方法： (1)求f(在（内的极值可疑点 X1,X2,·,Xm (2)最大值 M=maxt f(x),f(x2),,f(xm),f(a),f(b)} 最小值 m=minf(x),f(x2),.f(xm),f(a),f(b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得. 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值
特别： 当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小值 当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 ·对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 . (小)