第5节 第四章 有理蓝数和可化为有理数的积分 基本积分法：直接积分法， 换元积分法； 分部积分法 求导 初等函数 初等函数 积分 本节内容 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、几类简单无理函数的积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 • 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 有理函数和可化为有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ; 三、几类简单无理函数的积分
一、有理函数的积分 有理函数： a0x”+a4x”-+…+an R(x)= P,(x) 2n(x) box+x+bm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式+真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 A Mx+N (keN*,p2-4q<0〉 (x-a)* (x2+px+q) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x m n = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( , 4 0) 2 − + k N p q 若干部分分式之和
定理（分解定理）设Qm(x)=b(x-4…(x-b(x2+px +q}(x2+x+Sy,其中p2-4q<0,r2-4s<0,则有 理真分式 可以分解我脚下最简分式（也称部分分式） 之和 B,(x) A A Aa +十 e (x) (x-a)2(x-a) x-a B (x-b)P(x-b)可 x-b Mx+N M,x+N2 Mx+N2+… (x2+px+q)* (x2+px+q)+ x2+px+9 Rx+S Rx+S2 Rx+S 十十 (x2+X+S) (x2+x+S)- x2++s BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) Q x P x m n + − + + − + − + + − + + − + − = − − x b B x b B x b B x a A x a A x a A 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 定理(分解定理) 设 Qm (x)＝b(x－a) α…(x－b) β (x 2＋px ＋q) λ…(x 2＋rx＋s) μ ，其中p 2－4q<0，r 2－4s<0，则有 理真分式 可以分解成如下最简分式(也称部分分式) 之和． ( ) ( ) Q x P x m n . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x rx s R x S x rx s R x S x rx s R x S x px q M x N x px q M x N x px q M x N + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − −
例.将下列真分式分解为部分分式 x+3 3 x(x-1)2 (2) x2-5x+6 (1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 1 x-(x-1)1 1 x(x-1)2 x(x-1)2(x-1)2x(x-1) 1 x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 11 十 (x-1)2x-1x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1)
(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6 (x-2)(x-3)x-2 x-3 A=(x-2)·原式 x+3 x=2x-3x=2=-5 B=(x-3)原式 x+3 =3X-2=36 故 原式=-5+6 x-2x-3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e0-C-①8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x
(3)混合法 A Bx+C (1+2x)1+x2) 1+2x 1+x2 4 A=(1+2x)原式 x= 15 分别令x=0,1代入等式两端 4 +C 2 B -5 1-6 4 B+C 15 2 5 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x
四种典型部分分式的积分： 1j。aw=Ah-C 2- A A -k(x-a口+C(k>1为正整数) Mx+N d (x2+px+q) dx =2x+p 变分子为 当(2x+p)+V-7 Mx+N dx 再分项积分 (p2-4q1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C C (k 1为正整数) k x a A k + − − = −1 (1 )( ) − x x a A 1. d − x x a A k d ( ) 2. + + + x x px q M x N 3. d 2 + + + x x px q M x N k d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分 x p x px q = + + + 2 ( ) 2
dx 例4.5.4求 1+2x)1+x2) 解：已知 ,2] 4 2x 实之 ()urcanz+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.5.4 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + − + + 2 1 1 x + + = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln(1 ) 5 1 2 − + x + arctan x +C 5 1
说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行！ 但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 6求1- dx 解： 2x2+5 x++5x2+4 dx 0 Jg dx x2+10(x2+4) -2n+5x2+4+ arctan arctan x C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 + + + x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x + + x + 例4.5.5 求 + + + = x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3 + + + + x x x x d 5 4 2 5 4 2 2 + + + + = 5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 = x + x + 2 arctan 2 1 x + + arctan x +C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法
二、三角函数有理式的积分 设R(sinx,cosx)表示三角函数有理式，则 R(sinx,cos x)dx 令t=tan5 万能代换 参考下页例4.5.6) t的有理函数的积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二 、三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式 , R(sin x, cos x)dx 令 2 tan x t = 万能代换 (参考下页例4.5.6) t 的有理函数的积分 则