第5节 第十章 傳里叶级 以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 周期为2的周期函数的傅里叶级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 第十章 傅里叶级数
一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅。o为角频率，o为初相 复杂的周期运动：y=A0+∑A,nsin(nwt+pn） n=1 (谐波迭加 An sin pn cosnot An coson sinnot aoAo,an An sin gn-bn=An cospn>a t=x 得函数项级数 +∑a,COS+b.sinnx) 2 n= 称上述形式的级数为三角级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -Q0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x = + + 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
1.三角级数及三角函数系的正交性 组成三角级数的函数系： l,coSx,Sinx,c0s2x,sin2x,·,cosx,sinx,… 在[-元，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于零 证：1 cosndx=∫1 -sinnxdx=0 (n=1,2,…) cos kx cosnx dx |cos kxcosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =2∫[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k≠n) 同理可证：.sinkx sinxdx=0(k≠n) ["sin kx cosnxdx =0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1 = + + − − 组成三角级数的函数系： 证: − π π 1 cos nxd x = − π π 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx π π − = 0 sin sin 0 π π = − 同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于零. 即其中任意两个不同的函数之积在 π π sin cos 0 k x nx x d − = (k n ) 1.三角级数及三角函数系的正交性
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀， 上的积分不等于零.且有 [1-1dx=2元 cos2nxdx=元 (n=1,2,3,…） ∫sin2nxdr=元 1+cos2nx 1-cos 2nx cos-nx= ,sin2nx= 2 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于零. 1 1d 2 π π π = − x sin nxdx 2 π π − cos n x dx 2 π π − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = π = π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
2.函数f(x)的傅里叶级数 设f(x)是周期为2π的周期函数，且 00 f(x)=+(a cosb in ① 2 n=l 右端级数可逐项积分，则有 「a,=f()cosndx (n=1,2,3,…)》 b=f(x)sinndx (n=1,2,3,) 证：由定理条件，对①在[一兀，)逐项积分，得 id=2ia+od么mm） =a0元 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得 2.函数f (x)的傅里叶级数
"a-(x)dx 「”(x)eoskxdx= coskxdx+ +aeoskcoesnd+62oshxsimwd时 =acos2kxd=a4π (利用正交性) ax =f(x)coskxdx (k=1,2,…) 类似地，用sikx乘①式两边，再逐项积分可得 b=∫fcx)sinkxdx (k=1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d π π 0 π π = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d π π b kx nx x n cos sin d π π − a kx x k cos d π π 2 − = a f x kx x k ( )cos d π 1 π π − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 π π = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 π π 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
f-2+(asx+hsn） ① n=] [a,=)cosndx (n=0,1.) f()sinndx (n=1,2,") 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.-J BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = π π ( )cos d ( 0,1, ) π 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = π π ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数. 称为函数 简介
推论 (1)当x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ∑b,sinnx其中系数 7= b)sinmdx (n=1,2,3,…) (2)当x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 号+∑a,cos甚中系数 f(x)cosndx (n=0,1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论 (1)当f(x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ，其中系数 (2)当f(x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 其中系数
3.傅里叶级数的收敛性 定理1（收敛定理）设函数f(x)是周期为2π的周期函数 如果它满足狄利克雷(Dirichlet)条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则(x)的傅里叶级数收敛，并且 2+∑(a,cosm+b,snx) 注意：函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 f(x), x为连续点 的条件低得多 f(x-0)+f(x+0)x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (收敛定理) 设函数 f (x) 是周期为2 的周期函数, 如果它满足狄利克雷( Dirichlet )条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且 = f (x) , ( 0) ( 0) , 2 f x f x − + + x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 3.傅里叶级数的收敛性
例10.5.1设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 一 ≤x<0 0x<元 将f(x)展开成傅里叶级数， 解：先求傅里叶系数 a,-[f()eosndx -1[o(-D)cosnxdx+1cosdx (n=1,2,3,…)） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 y x 例10.5.1 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为 − − = 1, 0 π 1, π 0 ( ) x x f x 解: 先求傅里叶系数 = − + − π 0 0 π 1 cos d π 1 ( 1)cos d π 1 nx x nx x = = 0 ( 1, 2 , 3 , ) n 将 f (x) 展开成傅里叶级数. O −1 1 − π π