北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第10章 无穷级数 2常数项级数的审敛法

第2节 第十章 常款项级款的审敛法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第2节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十章

一、正项级数及其审敛法 00 若4n≥0，则称∑4n 为正项级数 n=l 定理1正项级数∑4n收敛 二部分和数列{} n=l (n=1,2,…)有界 证：“→”若∑4n收敛，则{s}收敛故有界 n=1 一”un≥0，.部分和数列{sn}单调递增 又已知{s,}有界故{s,}收敛，从而∑4n也收敛 n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法 若  0, un   n=1 un 定理 1 正项级数 收敛 部分和数列 有界. 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 则 收敛

定理2（比较审敛法） 设∑n∑n 都是正项级数， 且un≤Vn(n=1,2,…） (1)如果级数∑y,收敛，则级数∑4n也收敛： n=1 (2)如果级数 ∑4发散，则级数∑y,也发散 n=1 n=1 证：(1)由定理1可知，当级数∑y收敛时，其部分和 数列必有界，于是有心0，使得 0s∑y≤M BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (比较审敛法) 设 且 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散. 都是正项级数, (n＝1,2，…) . 证：(1)由定理1可知，当级数 收敛时，其部分和 数列必有界，于是有M>0，使得

又4n≤n(n=1,2,…),故 0s∑4，≤∑≤M, 因而级数∑4的部分和数列有界，级数∑收敛. m=1 n=1 2)若级数∑4，发散则级数立y,必发散. =1 n=] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 又un≤vn (n＝1,2，…)，故 因而级数 的部分和数列有界，级数 收敛． (2) 若级数 发散, 则级数 必发散．

准论设∑4∑ 都是正项级数，并且4n≤wm 0 (0,n2N,N为某一自然数). (1)如果级数 ∑收敛，则级数∑ 4n也收敛； n=1 n=1 (2)如果级数∑4，发散，则级数∑yn也发散. n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论 设 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 都是正项级数,并且un≤kvn ( k>0，n≥N，N为某一自然数 )

例10.2.3 讨论级数++…+ 的敛散性，其中常数p>0. 解：当p≤1，因为对一切n∈N+, n 又调和级数 发激，由比纹审敛法可知P级数。 n= 发散. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例10.2.3 讨论 p -级数 1 1 1 1 1 234 p p p p n + + + + + + 的敛散性，其中常数 p > 0. 解: 当 p 1, 因为对一切 又调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

当p>1,因为当n-1≤x≤n时 , 故 dx [-][ 故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n n p p x n 1 n d 1 1  −  n n p x 1 x d 1    − −    − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数    − −    − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n    + −    = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n 1 当       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 

例10.2.4判定级数 的敛散性 解：因为 3= √n(n+in+ly (n=1,2,…） 而级数 发散 k=2 根据比较审敛法可知，所给级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 判定级数 的敛散性. 解: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例10.2.4

定理3（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑4n,∑Yn满足lim4n=1,则有 n=1 7n=1 n→oVn (1)当0≤1N时， 42<1+1,即un<(0+y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 (2) 当 l = +∞ 证: (1)由极限定义,对 设两正项级数 满足 (1) 当 0 ≤ l < +∞

00 而级数Σ'收敛，根据比较审敛法的推论，知级数 n=1 ∑4，收敛 n= (2)按已知条件 im”存在，如果级数∑u,收敛，则 n->Un n=1 由结论(1)必有∑yn收敛，但已知级数∑yn发散， 因此级数∑u,不可能收敛，即级数∑4n发散· n= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 而级数 收敛，根据比较审敛法的推论，知级数 收敛. (2)按已知条件 存在，如果级数 收敛，则 由结论(1)必有 收敛，但已知级数 发散， 因此级数 不可能收敛，即级数 发散．