北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 3全微分及其应用

第3节 第七章 全微分及其立用 一元函数y=f(x)的微分 △y=A△x+O(△x) 应用 近似计算 dy=f'(x)△x 估计误差 本节内容： 全微分的定义 二、 全微分在近似计算中的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 二、全微分在近似计算中的应用 应用 第3节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分及其应用

一、全微分的定义 定义1如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△三=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △2= A△x+B△y+o(p),p=△x2+(△)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义 定义1 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. A x B y Δ + Δ

当函数可微时： Ac=g（+BA)+o(P]=0 △x-→0 △y-→0 得 lim f(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x->0 △y-→0 即 函数：=f(化，y)在点（化，y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微 二偏导数存在 (2)偏导数连续，三 函数可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS - 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束  z = Ax + B y + o( ) dz = d f = Ax + By (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 当函数可微时 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1（函数可微分的必要条件） 如果函数z=x,y) 在点心，y)处可微分，则该函数在点化，y)处连续 证因为函数：=x,y)在点x,y)可微分，则 △z=A△x+B△y+O(P), 从而 1im△z=1im[A△x+B△y+o(p]=0! △x→0 △x→0 △y→0 △y→0 根据连续函数的等价定义得，函数：=几x,y)在点 (x,y处连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1(函数可微分的必要条件) 如果函数z＝f(x，y) 在点(x，y)处可微分，则该函数在点(x，y)处连续． 根据连续函数的等价定义得，函数z＝f(x，y)在点 (x，y)处连续． 证 因为函数z＝f(x，y)在点(x，y)可微分，则 从而

定理2（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点的偏导数 0z 必存在，且有 dz= x+ x 02 Ay y 证：因函数在点x,y)可微，故△z=A△x+B△y+o(P), 令△y=0,得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-(x,y)=A△x+o(△x) 0e lim Ax -A 8x △x>0△x 同样可证 B,因此有dz= 02 0y Ox x+by BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证:因函数在点(x, y) 可微, 故 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A

注意：定理2的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ 反刷：函数八 x2+y2≠0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=f,(0,0)=0,但 △z-[f(0,0)Ax+f,(0,0)△]= △x△y A+(A) △x△y △x△ V(△x2+(△)2p△x)2+(△y2 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理2 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y =

定理3（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 0z ax'∂y 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：△x=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)] +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =fx(x+OAx,y+△y)Ax+fy(x,y+O2Ay)△y 00 △x→0 △y→0 △y>0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -x 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 =[ f (x + x, y + y) ] 定理3 (充分条件) y z x z     , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 1  2  lim 2 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 1 0 0 =  →  →  y x

△z=… =fx(x,y)△x+f(x,y)△y+E,△x+E2△y m,6=0,m6,=0】 △x-→>0 △X→0 △y-→0 △y-→0 注意到 A方斗-胶有 Az=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , ) 1 2 1 2       + x + y 所以函数 + x + y 1 2   在点 可微.       lim 0 2 0 0 =  →  →  y x lim 0, 1 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 du= Ox 0y 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= ou dy Ox 0z 记作dxw .u dx4,d,yu,du称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dx u+dy u+d=u BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束  +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + dz u 的全微分为  +   y y u z z u    于是 u u u x y z d ,d ,d

x+y 例7.3.2计算函数z=arctan 的全微分 1-xy 0z 解： x 1+x2 1+y2 .dz= 1+x2 例73.3计算函数u=x+sin)+e的全微分 2 解：du=ldx+(cos+ze)dy+yedz BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.3.2 计算函数 的全微分. 解: =   x z 例7.3.3 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z , 1 1 2 + x 2 1 1 + y yz ze