第1节 第十章 常数页级数的橇念和性质 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第1节 第十章
一、常数项级数的概念 引例圆的面积问题 依次作圆内接正3×2”(n=1,2,…)边形，设a1表示 内接正六边形面积，4，表示边数增加 时增加的面积如此继续进行次， Sn=a1+a2+…+am n→∞时，这个和越近似于圆的面积S 即 S limS,=lim(a +a,+..+a ) 1n>00 n→c0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念 引例 圆的面积问题. 依次作圆内接正 边形, 这个和越近似于圆的面积 S . 设 a1 表示 即 内接正六边形面积, ak 表示边数增加 时增加的面积,如此继续进行n次
定义1设给定一个数列4,42,4，…，4n,…将各项依 次相加，简记为∑4n,即 n=1 ∑4n=41+42+5+…+4n+ n=1 称上式为无穷级数其中第n项un称为级数的一般项 级数的前n项和 sn=∑4，=h+功+43+…+47 i=1 称为级数的部分和： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1 设给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n= n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 称为级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为
定义2如果级数∑4，的部分和数列{sn}有极限s,即 n= lim S =S 1n→00 则称无穷级数收敛，s称为级数的和，记作 s=∑4n=41+42+…+n+… 如果{s}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和 当级数收敛时，其部分和s是级数和s的近似值，称 ,=s-sn=4n+1十4n+2十..+4n+k+为级数∑4，的 余项 n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 如果{sn}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和． 当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，称 rn ＝s－sn ＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…为级数 的 余项． 则称无穷级数收敛， s称为级数的和，记作 如果级数 的部分和数列{s 定义2 n}有极限s，即
例10.1.3讨论公比为g的等比级数 (又称几何级数 00 ∑ag”=a+ag+ag2++ag”+…(a≠0) n=0 的敛散性 解：若q≠1，则部分和 Sn=a+aq+aq+…+ag1- a-aq" 1-q 当g1时，由于1imq”=o,因而lims.=o, 1n→00 n>a∞ 这时等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.1.3 讨论公比为q 的等比级数 (又称几何级数) 的敛散性. 解: 若 q a a q n − − = 1 因而 1 lim a n q n s − → = 等比级数收敛 , ; 1 q a − 因而 lim , n n s → = 则部分和 这时等比级数发散 . 其和为
若9=1，则 40 当q=1时，Sn=na→0，因此等比级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+…+(-1)m-1a+… n为奇数 因此 n为偶数 从而lims不存在，这时等比级数发散 n->o0 综合可知， q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 若 因此等比级数发散 ; 因此 n s = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 这时等比级数发散
二、收敛级数的基本性质 00 性质1如果级数∑4n收敛于和s,即s=∑4n,则各项 n=1 n= 乘以常数k所得级数∑kun也收敛，其和为s. n=1 证：令Sn=∑4n,则on=∑k弘，=kSn, n=] lim on=k lims,=ks n-→oo n→00 这说明 ∑kun收敛，且和为ks. n=l 说明：级数的每一项同乘一个非零常数后，它的敛 散性不会改变 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数 收敛于和 s , 1 , n n s u = = 则各项 乘以常数 k 所得级数 也收敛 , 证: 令 1 , n n n s u = = 则 1 n n n k u = = , n = k s n n → lim = ks 这说明 1 n n k u = 收敛 , 且和为 ks . 说明: 级数的每一项同乘一个非零常数后，它的敛 散性不会改变. 即 其和为 ks
性质2设有两个收敛级数 s=∑4，=∑n n= n=1 则级数∑(4n±yn)必收敛，且其和为S士O。 n= 证：令sn=∑4，o,=∑，则 n= n=∑(n±)=Sn±O，→s±o(n→o) 这说明级数∑(4n±vn)也收敛，其和为s士O, n=] 说明：两个收敛级数逐项相加（相减）所得级数仍收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质2 设有两个收敛级数 1 , n n s u = = = = n 1 n v 则级数 ( ) 1 n n n u v = 必收敛, 且其和为 s . 证: 令 1 , n n n s u = = 1 , n n n v = = 则 1 ( ) n n n n u v = = → → s n ( ) 这说明级数 ( ) 1 n n n u v = 也收敛, 其和为 s . 说明：两个收敛级数逐项相加(相减)所得级数仍收敛．
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变 级数的敛散性 00 证：将级数∑u的前k项去掉，所得新级数∑uk+m n=1 n=l 的部分和为 n=∑k1=Sk+n-S 1≥] 由于n→o时，O,与sk+m极限状况相同，故l旧两级 数敛散性相同 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不改变 级数的敛散性. 证: 将级数 n=1 n u 的前 k 项去掉, 的部分和为 = = + n l n uk l 1 k n k s s = − + 数敛散性相同. 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数
性质4如果级数收敛，则对这个级数的各项间任意 加括号所得的级数仍收敛，且其和不变 证：设级数∑4，前n项的部分和为sn,加括号所成的 级数前项部分和为Ak,则 A=(4++认)+(41十+）++(u41++）=S 数列{A}是数列{sn}的一个子数列.由数列{sn}的收 敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列{A} 必定收敛，且有 lim 4 lims, n→00 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 例如1-1)+(1-1)+…=0，但1-1+1-1+…发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 性质4 如果级数收敛，则对这个级数的各项间任意 加括号所得的级数仍收敛，且其和不变． 证: 设级数 前n项的部分和为sn，加括号所成的 级数前k项部分和为Ak，则 1 n n u = 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如，(1−1) + (1−1) += 0 , 但 发散. 数列{Ak}是数列{sn}的一个子数列．由数列{sn}的收 敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列{Ak} 必定收敛，且有