北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第4章 不定积分 4分部积分法

第4节 第四章 分部积分法 由导数公式 (2w)'=u'v+w 积分得： w=∫adr+∫w'dx 。a 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得 2)∫wdr比∫uw'dx容易计算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 由导数公式 (uv) = u  v + uv  积分得: uv = u  vdx + uv dx   分部积分公式 uv dx uv u v dx    = −  或 ud v uv v du   = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章

例4.4.1求xcosdx. 解：令u=x,v=Cosx, 则u'=1,v=Sinx ∴.原式=xsinx sinxdx =xsInx+cosx+C 思考：如何求x2 sinxdx? 提示：令u=x2,v'=sinx,则 原式=-x2cosx+2 xcosxdx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.1 求 解: 令 u = x, v  = cos x, 则 u  =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x  − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v  = sin x, 则 原式

例4.4.4求∫xInxdx. 解：令u=lnx,v'=x 则 X 原武-1nxxd如 =32nx-2+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.4 求 x ln x dx.  解: 令 u = ln x, v  = x 则 , 1 x u  = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2  − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1

例4.45求arcsin xdx. 解：令l=arcsin x,dy=dx 原式=xaresin-了产d =z片别 xarcsin x+v1-x2 C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.5 求 解: 令 u = arcsin x, dv = d x 原式 = xarcsin x  − − x x x d 2 1 = xarcsin x  − − + (1 ) d(1 ) 2 1 2 2 x x arcsin 1 . 2 = x x + − x +C

例44.6求∫x2 arctan x dx. 解：令u=arctanx,.dv=xdx-dx 3 原式 arct dx 3 esmx-名0-安 3 3 am-言+97 -x arclanx-1+)+C. 6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.6 求 arctan d . 2 x x x  解: 令 u = arctan x, 2 3 d 3 1 d v = x d x = x ∴ 原式 x arctan x 3 1 3 =  + − x x x d 3 1 1 2 3 x arctan x 3 1 3 =  + − − 2 2 ) d 1 1 (1 6 1 x x x arctan x 3 1 3 = ln(1 ) . 6 1 6 1 arctan 3 1 3 2 2 = x x − x + + x +C  + + − + 2 2 2 1 d(1 ) 6 1 6 1 x x x

例4.4.7求「e*sinxdx 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=ex 原式=exsinx-「e*cos x dx 再令=cosx,v'=e,则 u'=-sinx,v=e* =e*sinx-e*cosx-e*sinxdx 故原式=e'(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=ex,v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.7 求 e sin x dx. x  解: 令 u = sin x, x v  = e , 则 u  = cos x, x v = e ∴ 原式 x x = e sin  − x x x e cos d 再令 u = cos x, x v  = e , 则 u  = −sin x, x v = e x x = e sin  − x − x x x x e cos e sin d 故 原式 = x x C x e (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致

解题技巧：选取及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按” 反对幂指三” 顺序，前者为后者为y'. 的 反反三角函数 对：对数函数 幂幂函数 指指数函数 三：三角函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v  . 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数

例44.12求∫edx 解：令√x+1=t,则x=t2-1,dx=21dt 原式=2tedi 令w=t,v'=e =2(te'-∫e'dr） =2(te'-e)+C =2ex(Vx+1-1)+C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.12 求 解: 令 x +1= t , 则 1, 2 x = t − dx = 2t d t 原式 t t t 2 e d  = ( t = 2 t e 2e ( 1 1) . 1 x C x = + − + + u = t , t v  = e e ) t − +C 令 t = 2(t e t ) t e d  −

例4.13求，-∫。0其中a>0内正整数 du 解当时，j du arctan+C. a 当n>1时， 1aey*2w-刂wy咖 du U a0y2n-以wtoyway du (2+a+2n-lX1n-a1》。 以2 ro+- u (n=2,3,…） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.13 求 解: 当n=1时, n−1 I  − + = 2 2 1 ( ) d n u a u u u a u n u a u n n d ( ) 2( 1) ( ) 2 2 2 2 2 1  + + − + = − 所以 (2 3) ( 2,3, ). 2 ( 1) ( ) 1 2 2 2 1 1  =       + − − + = − n I − n u a u a n I n n n arctan . d 1 1 2 2 C a u u a a u I = + + =  当n>1时, u u a a u a n u a u n n n d ( ) ( ) 1 2( 1) ( ) 2 2 2 2 2 1  2 2 1       + − + + − + = − − 2( 1)( ), ( ) 2 2 2 n 1 n 1 n n I a I u a u + − − + = − −

内容小结 分部积盼公式∫uvd=v-∫uvd 1.使用原则：v易求出，「vdx易积分 2.使用经验：“反对幂指三”，前uy 后 3.题目类型 分部化简，循环解出； 递推公式 4.计算格式： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 v u  内容小结 分部积分公式 u v dx u v u vdx    = −  1. 使用原则 : v u vdx  易求出,  易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 v  3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : v u  +  −