第7节 第七章 事无蓟数的教值及其求法 一、 多元函数的极值 二、 多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第7节 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 多元函数的极值及其求法
多无函数的极值 定义若函数z=f(x,y)在点P(x。,y。)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值 z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点0,0)无极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,y0)具有 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x,)=0,f(x,)=0. 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,yo)在x=xo取得极值 z=∫(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0. f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 具有 故
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(xo,o)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,0)=0 令f(x,)=A,f,(x0%)=B,f(x,)=C, A0时，具有极值 A>0时取极小值 (2)当AC-B2<0时，没有极值， (3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: (1) 当 A0 时取极小值. (2) 当 (3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) , f x x x0 y0 = A f x y x0 y0 = B f y y x0 y0 = C 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 且
例7.7.4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点。 解方程组 [f(x,y)=3x2+6x-9=0 f,(x,y)=-3y2+6y=0 求得驻点为：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B x(xy)=6x+6,fx(x,y)=0,(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, ∴.f1,0)=-5为极小值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.4求函数 解: 第一步 求驻点. 求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0
在点1,2)处A=12,B=0,C=-6 4C-B2=12×(-6)0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 A B BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C
二、多元函数的最大值与最小值 依据 函数f在闭域上连续 函数在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时， f(P)为极小值(P)为最小值 (大) (大) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的最大值与最小值 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小值 f (P) 为最小值 (大) (大) 依据
例7.7.6某厂要用铁板做一个体积为8m的有盖长方体 水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？ 解：设水箱长，宽分别为x,ym,则高为m, 则水箱所用材料的面积为 A=20+y号+x÷)=2(++)>8 4=2y-g)=0 得驻点（2,2) 0A,=2(x-)=0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽、高都为2 时，水箱所用材料最省 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.6 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为8 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体 水箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省? m, 8 x y ( ) x y x y 8 8 = 2 + + 2( 2 ) 0 8 = − = x x A y 2( 2 ) 0 8 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽、高都为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2) 2
三、条件极值与拉格朗旧乘数法 无条件极值：对自变量只有定义域限制 极值问题 条件极值：对自变量除定义域限制外 还有附加条件限制 条件极值的求法 1.把条件极值转化为无条件极值例如， 在条件2(xy+z+xz)=a下，求体积V=xz的极值 花 a2-2xy 2(x+y) 求一元函数Y= xy(a2-2xy) 的无条件极值 2(x+y) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值与拉格朗日乘数法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 1.把条件极值转化为无条件极值 求一元函数 的无条件极值. 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有附加条件限制 例如 , 转 化 在条件 下, 2 2(x y+ yz + x z) = a 求体积V = xyz的极值 ; 2( ) 2 2 x y a xy z + − = 2( ) ( 2 ) 2 x y x y a x y V + − =
2拉格朗日乘数法 例如， 在条件p(x,y)=0下，求函数z=f(x,y)的极值 (1)构造拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)+Ap(x,y). (2)求出函数L(x,y)对x与的一阶偏导数，并使 之为零，与方程p(x,y)=0联立 f(x,y)+九0(x,y)=0, f(xy)+九0，(x,y)=0 p(x,y)=0, (3)判别所求的点是否为极值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 在条件(x, y) = 0下, 2.拉格朗日乘数法 (1)构造拉格朗日函数 求函数 z = f (x, y)的极值. L(x, y) = f (x, y) + (x, y), 例如, (2)求出函数L(x，y)对x与y的一阶偏导数，并使 之为零，与方程 (x, y) = 0 联立 f (x, y) + (x, y) = 0, x x f (x, y) + (x, y) = 0, y y (x, y) = 0, (3)判别所求的点是否为极值点